Номер 9.3, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 9. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения - номер 9.3, страница 69.

Условие.

9.3. Дано: $2 < x < 4$. Оцените значение выражения $\frac{1}{x}$.

Решение.

9.3.

Нам дано двойное неравенство $2 < x < 4$.

Чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{x}$, мы должны взять обратную величину от каждой части неравенства. Важно помнить, что все части данного неравенства (2, x и 4) положительны.

Для положительных чисел действует следующее свойство: если $a < b$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$. Иными словами, при взятии обратной величины от положительных чисел знак неравенства меняется на противоположный. Это происходит потому, что функция $y = \frac{1}{x}$ является убывающей для $x > 0$.

Применим это свойство к нашему неравенству $2 < x < 4$.

Разобьем его на два простых неравенства:
1) $2 < x$
2) $x < 4$

Для первого неравенства $2 < x$ получаем $\frac{1}{2} > \frac{1}{x}$.

Для второго неравенства $x < 4$ получаем $\frac{1}{x} > \frac{1}{4}$.

Теперь объединим эти два результата в одно двойное неравенство. Мы получили, что $\frac{1}{x}$ меньше, чем $\frac{1}{2}$, и одновременно больше, чем $\frac{1}{4}$.

Запишем это в виде двойного неравенства:
$\frac{1}{4} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{4} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$.