Номер 9.10, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 9. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения - номер 9.10, страница 70.

Условие.

9.10. Дано: $5 < a < 8$ и $3 < b < 6$. Оцените значение выражения:

1) $4a + 3b$;

2) $3a - 6b$;

3) $\frac{a}{b}$;

4) $\frac{2b}{3a}$.

Решение.

1) $4a+3b$;
Чтобы оценить значение выражения, необходимо оценить каждое слагаемое в отдельности и затем сложить полученные неравенства.
1. Оценим значение $4a$. Так как по условию $5 < a < 8$, умножим все части этого неравенства на 4 (положительное число, знак неравенства сохраняется):
$4 \cdot 5 < 4 \cdot a < 4 \cdot 8$
$20 < 4a < 32$
2. Оценим значение $3b$. Так как по условию $3 < b < 6$, умножим все части этого неравенства на 3:
$3 \cdot 3 < 3 \cdot b < 3 \cdot 6$
$9 < 3b < 18$
3. Теперь сложим почленно полученные неравенства $20 < 4a < 32$ и $9 < 3b < 18$:
$20 + 9 < 4a + 3b < 32 + 18$
$29 < 4a + 3b < 50$
Ответ: $29 < 4a + 3b < 50$.

2) $3a-6b$;
Для оценки разности представим её в виде суммы $3a + (-6b)$.
1. Оценим $3a$. Из $5 < a < 8$ следует:
$3 \cdot 5 < 3a < 3 \cdot 8$
$15 < 3a < 24$
2. Оценим $-6b$. Сначала найдём границы для $6b$. Из $3 < b < 6$ следует:
$6 \cdot 3 < 6b < 6 \cdot 6$
$18 < 6b < 36$
Теперь умножим это неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-36 < -6b < -18$
3. Сложим неравенства для $3a$ и $-6b$:
$15 + (-36) < 3a + (-6b) < 24 + (-18)$
$-21 < 3a - 6b < 6$
Ответ: $-21 < 3a - 6b < 6$.

3) $\frac{a}{b}$;
Поскольку $a$ и $b$ принимают только положительные значения, для оценки частного $\frac{a}{b}$ нужно найти его наименьшее и наибольшее возможные значения.
1. Наименьшее значение дроби достигается при наименьшем значении числителя и наибольшем значении знаменателя. Нижняя граница: $\frac{\min(a)}{\max(b)} = \frac{5}{6}$.
2. Наибольшее значение дроби достигается при наибольшем значении числителя и наименьшем значении знаменателя. Верхняя граница: $\frac{\max(a)}{\min(b)} = \frac{8}{3}$.
Таким образом, получаем оценку:
$\frac{5}{6} < \frac{a}{b} < \frac{8}{3}$
Ответ: $\frac{5}{6} < \frac{a}{b} < \frac{8}{3}$.

4) $\frac{2b}{3a}$.
Для оценки этого выражения сначала найдём границы для числителя $2b$ и знаменателя $3a$.
1. Оценим $2b$. Из $3 < b < 6$ следует:
$2 \cdot 3 < 2b < 2 \cdot 6$
$6 < 2b < 12$
2. Оценим $3a$. Из $5 < a < 8$ следует:
$3 \cdot 5 < 3a < 3 \cdot 8$
$15 < 3a < 24$
3. Теперь оценим дробь $\frac{2b}{3a}$ по тому же принципу, что и в предыдущем пункте. Нижняя граница: $\frac{\min(2b)}{\max(3a)} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.
Верхняя граница: $\frac{\max(2b)}{\min(3a)} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.
В результате получаем:
$\frac{1}{4} < \frac{2b}{3a} < \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{1}{4} < \frac{2b}{3a} < \frac{4}{5}$.