Номер 9.14, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 9. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения - номер 9.14, страница 70.

Условие.

9.14. Сократите дробь $\frac{x^{71} + x^{70} + \ldots + x + 1}{x^{23} + x^{22} + \ldots + x + 1}$.

Решение.

Обозначим числитель дроби как $N(x) = x^{71} + x^{70} + \dots + x + 1$ и знаменатель как $D(x) = x^{23} + x^{22} + \dots + x + 1$.

Числитель $N(x)$ представляет собой сумму 72 слагаемых, а знаменатель $D(x)$ — сумму 24 слагаемых. Заметим, что $72 = 3 \times 24$. Это наблюдение позволяет нам сгруппировать слагаемые в числителе по 24 в каждой группе.

Представим числитель в следующем виде:

$N(x) = (x^{71} + x^{70} + \dots + x^{48}) + (x^{47} + x^{46} + \dots + x^{24}) + (x^{23} + x^{22} + \dots + 1)$.

Теперь вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^{48}$, из второй — $x^{24}$:

$N(x) = x^{48}(x^{23} + x^{22} + \dots + 1) + x^{24}(x^{23} + x^{22} + \dots + 1) + 1 \cdot (x^{23} + x^{22} + \dots + 1)$.

Можно заметить, что выражение в каждой из скобок в точности совпадает со знаменателем $D(x)$. Поэтому мы можем переписать числитель как:

$N(x) = x^{48}D(x) + x^{24}D(x) + D(x)$.

Вынесем $D(x)$ как общий множитель:

$N(x) = (x^{48} + x^{24} + 1)D(x)$.

Теперь подставим полученное выражение для числителя в исходную дробь:

$\frac{N(x)}{D(x)} = \frac{(x^{48} + x^{24} + 1)D(x)}{D(x)}$.

При условии, что знаменатель $D(x) \neq 0$, мы можем сократить дробь на $D(x)$.

В результате сокращения получаем:

$x^{48} + x^{24} + 1$.

Ответ: $x^{48} + x^{24} + 1$.