Номер 9.13, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 9. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения - номер 9.13, страница 70.

Условие.

9.13. Оцените значение а, если:

1) $a - |b| = 1;$

2) $a + b^2 = 2;$

3) $|a| + |b| = 1.$

Решение.

1) Дано уравнение $a - |b| = 1$.

Для того чтобы оценить значение $a$, выразим его из этого уравнения:

$a = 1 + |b|$

По определению модуля, значение $|b|$ всегда является неотрицательным, то есть $|b| \ge 0$ для любого действительного числа $b$.

Наименьшее возможное значение $|b|$ равно 0 (когда $b=0$). В этом случае $a$ принимает свое наименьшее значение:

$a_{min} = 1 + 0 = 1$

Поскольку $|b|$ может быть любым неотрицательным числом, то значение $a$ может быть сколь угодно большим. Таким образом, значение $a$ ограничено снизу числом 1.

Оценка для $a$: $a \ge 1$.

Ответ: $a \ge 1$.

2) Дано уравнение $a + b^2 = 2$.

Выразим $a$ из этого уравнения:

$a = 2 - b^2$

Квадрат любого действительного числа $b$, то есть $b^2$, всегда является неотрицательным: $b^2 \ge 0$.

Чтобы найти максимальное значение $a$, нужно из 2 вычесть наименьшее возможное значение $b^2$. Наименьшее значение $b^2$ равно 0 (когда $b=0$).

$a_{max} = 2 - 0 = 2$

Поскольку $b^2$ может быть сколь угодно большим, то значение $a$ может быть сколь угодно малым (отрицательным). Таким образом, значение $a$ ограничено сверху числом 2.

Оценка для $a$: $a \le 2$.

Ответ: $a \le 2$.

3) Дано уравнение $|a| + |b| = 1$.

В этом уравнении и $|a|$, и $|b|$ являются неотрицательными величинами.

Выразим $|a|$ из уравнения:

$|a| = 1 - |b|$

Поскольку $|b| \ge 0$, то наименьшее значение, которое можно вычесть из 1, это 0. Следовательно, наибольшее значение $|a|$ равно:

$|a|_{max} = 1 - 0 = 1$

Это означает, что $|a| \le 1$.

Неравенство $|a| \le 1$ равносильно двойному неравенству $-1 \le a \le 1$.

Также можно заметить, что так как $|a| \ge 0$, то и $1 - |b| \ge 0$, что означает $|b| \le 1$. Это показывает, что оба значения, $a$ и $b$, ограничены.

Таким образом, значение $a$ находится в промежутке от -1 до 1 включительно.

Ответ: $-1 \le a \le 1$.