Номер 9.11, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 9. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения - номер 9.11, страница 70.

Условие.

9.11. Дано: $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{7} < y < \frac{1}{4}$. Оцените значение выражения:

1) $6x + 14y$

2) $28y - 12x$

3) $\frac{y}{x}$

Решение.

1) $6x + 14y$

Даны неравенства: $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{7} < y < \frac{1}{4}$.

Сначала оценим значение выражения $6x$. Для этого умножим все части первого неравенства на положительное число 6:

$6 \cdot \frac{1}{3} < 6 \cdot x < 6 \cdot \frac{1}{2}$

$2 < 6x < 3$

Теперь оценим значение выражения $14y$. Умножим все части второго неравенства на положительное число 14:

$14 \cdot \frac{1}{7} < 14 \cdot y < 14 \cdot \frac{1}{4}$

$2 < 14y < \frac{7}{2}$ или $2 < 14y < 3.5$

Чтобы оценить сумму $6x + 14y$, сложим почленно полученные неравенства:

$2 + 2 < 6x + 14y < 3 + 3.5$

$4 < 6x + 14y < 6.5$

Ответ: $4 < 6x + 14y < 6.5$.

2) $28y - 12x$

Для оценки разности $28y - 12x$ представим ее в виде суммы $28y + (-12x)$.

Сначала оценим значение $28y$. Умножим неравенство $\frac{1}{7} < y < \frac{1}{4}$ на 28:

$28 \cdot \frac{1}{7} < 28y < 28 \cdot \frac{1}{4}$

$4 < 28y < 7$

Далее оценим значение $-12x$. Сначала найдем границы для $12x$, умножив неравенство $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ на 12:

$12 \cdot \frac{1}{3} < 12x < 12 \cdot \frac{1}{2}$

$4 < 12x < 6$

Теперь умножим полученное неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-6 < -12x < -4$

Наконец, сложим почленно неравенства для $28y$ и $-12x$:

$4 + (-6) < 28y + (-12x) < 7 + (-4)$

$-2 < 28y - 12x < 3$

Ответ: $-2 < 28y - 12x < 3$.

3) $\frac{y}{x}$

Для оценки частного $\frac{y}{x}$ можно оценить произведение $y \cdot \frac{1}{x}$.

Неравенство для $y$ уже дано: $\frac{1}{7} < y < \frac{1}{4}$.

Найдем оценку для $\frac{1}{x}$. Дано неравенство $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$.

Так как все части этого неравенства положительны, мы можем взять обратные величины, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$\frac{1}{1/2} < \frac{1}{x} < \frac{1}{1/3}$

$2 < \frac{1}{x} < 3$

Теперь у нас есть два неравенства, все части которых положительны:

$\frac{1}{7} < y < \frac{1}{4}$

$2 < \frac{1}{x} < 3$

Чтобы оценить произведение, перемножим почленно эти неравенства (меньшее значение на меньшее, большее на большее):

$\frac{1}{7} \cdot 2 < y \cdot \frac{1}{x} < \frac{1}{4} \cdot 3$

$\frac{2}{7} < \frac{y}{x} < \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{2}{7} < \frac{y}{x} < \frac{3}{4}$.