Номер 9.5, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 9. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения - номер 9.5, страница 69.

Условие.

9.5. Оцените периметр равнобедренного треугольника с основанием $a$ см и боковой стороной $b$ см, если $10 < a < 14$ и $12 < b < 18$.

Решение.

Периметр $P$ равнобедренного треугольника с основанием $a$ и боковыми сторонами $b$ вычисляется по формуле:

$P = a + b + b = a + 2b$

По условию задачи даны следующие неравенства для длин основания $a$ и боковой стороны $b$:

$10 < a < 14$

$12 < b < 18$

Чтобы оценить периметр, нам нужно найти границы для выражения $a + 2b$.

1. Сначала найдем оценку для $2b$. Для этого умножим все части двойного неравенства для $b$ на 2:

$2 \cdot 12 < 2 \cdot b < 2 \cdot 18$

$24 < 2b < 36$

2. Теперь сложим почленно неравенства для $a$ и $2b$:

$10 < a < 14$

+ $24 < 2b < 36$

------------------

$10 + 24 < a + 2b < 14 + 36$

3. Выполним сложение:

$34 < a + 2b < 50$

Поскольку $P = a + 2b$, то искомая оценка для периметра:

$34 < P < 50$

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника (сумма двух сторон должна быть больше третьей). Для равнобедренного треугольника достаточно проверить, что сумма боковых сторон больше основания: $b+b > a$ или $2b > a$.

Из наших оценок мы знаем, что наименьшее значение $2b$ больше 24, а наибольшее значение $a$ меньше 14. Так как $24 > 14$, то неравенство $2b > a$ всегда выполняется. Следовательно, треугольник с указанными длинами сторон существует.

Ответ: $34 < P < 50$.