Номер 8.27, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.27, страница 65.

Условие.

8.27. Можно ли разложить 54 шарика по 10 коробкам так, чтобы во всех коробках количество шариков было разное и не было пустых коробок?

Решение.

По условию задачи нам нужно разложить 54 шарика по 10 коробкам. При этом должны соблюдаться два условия:

1. Количество шариков во всех коробках разное.
2. Не должно быть пустых коробок (т.е. в каждой коробке есть хотя бы один шарик).

Чтобы выяснить, возможно ли это, найдем минимальное количество шариков, которое потребуется для выполнения этих условий. Для того чтобы общее число шариков было минимальным, нужно, чтобы в каждой из 10 коробок лежало наименьшее возможное и различное количество шариков.

Поскольку пустых коробок быть не должно, наименьшее количество шариков в коробках будет представлять собой 10 наименьших натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Теперь найдем сумму этих чисел, чтобы определить минимально необходимое количество шариков:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$

Это сумма арифметической прогрессии, которую можно вычислить по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $n$ — количество членов, $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член.

В нашем случае $n=10$, $a_1=1$, $a_{10}=10$.

$S_{10} = \frac{10(1 + 10)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$

Таким образом, минимальное количество шариков, которое можно разложить по 10 коробкам с соблюдением заданных условий, равно 55.

У нас в наличии имеется только 54 шарика, что меньше, чем минимально необходимое количество:

$54 < 55$

Следовательно, разложить 54 шарика указанным способом невозможно.

Ответ: Нельзя.