Номер 8.26, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.26, страница 65.

Условие.

8.26. Упростите выражение $\frac{x^3 - y^3}{2y} \left( \frac{2y}{4 - 2y - 2x + xy} + \frac{2xy + 4y}{(x-y)(x^2 - 4)} \right)$

Решение.

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, выполнив сложение дробей.

1. Преобразуем знаменатели дробей в скобках.

Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя метод группировки:

$4 - 2y - 2x + xy = (4 - 2x) - (2y - xy) = 2(2 - x) - y(2 - x) = (2 - x)(2 - y)$.

Разложим на множители знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-y)(x^2 - 4) = (x-y)(x-2)(x+2)$.

2. Преобразуем вторую дробь.

Разложим на множители числитель второй дроби:

$2xy + 4y = 2y(x+2)$.

Теперь вторая дробь имеет вид:

$\frac{2xy + 4y}{(x-y)(x^2 - 4)} = \frac{2y(x+2)}{(x-y)(x-2)(x+2)}$

Сократим дробь на $(x+2)$ (при условии, что $x \neq -2$):

$\frac{2y}{(x-y)(x-2)}$

3. Выполним сложение дробей в скобках.

Выражение в скобках принимает вид:

$\frac{2y}{(2 - x)(2 - y)} + \frac{2y}{(x-y)(x-2)}$

Для удобства приведения к общему знаменателю, преобразуем знаменатель первой дроби: $(2 - x)(2 - y) = (-(x-2))(-(y-2)) = (x-2)(y-2)$.

Теперь сложим дроби:

$\frac{2y}{(x-2)(y-2)} + \frac{2y}{(x-y)(x-2)}$

Общим знаменателем является выражение $(x-2)(y-2)(x-y)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{2y(x-y)}{(x-2)(y-2)(x-y)} + \frac{2y(y-2)}{(x-2)(y-2)(x-y)} = \frac{2y(x-y) + 2y(y-2)}{(x-2)(y-2)(x-y)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{2xy - 2y^2 + 2y^2 - 4y}{(x-2)(y-2)(x-y)} = \frac{2xy - 4y}{(x-2)(y-2)(x-y)}$

Вынесем общий множитель $2y$ в числителе:

$\frac{2y(x-2)}{(x-2)(y-2)(x-y)}$

Сократим дробь на $(x-2)$ (при условии, что $x \neq 2$):

$\frac{2y}{(y-2)(x-y)}$

4. Умножим полученный результат на множитель перед скобками.

Исходное выражение равносильно следующему:

$\frac{x^3 - y^3}{2y} \cdot \frac{2y}{(y-2)(x-y)}$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

Подставим разложенный числитель в выражение:

$\frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{2y} \cdot \frac{2y}{(y-2)(x-y)}$

Сократим общие множители $2y$ (при $y \neq 0$) и $(x-y)$ (при $x \neq y$):

$\frac{x^2 + xy + y^2}{y-2}$

Ответ: $\frac{x^2 + xy + y^2}{y-2}$