Номер 8.25, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.25, страница 65.

Условие.

8.25. Сократите дробь $\frac{a^4 + 9a^2 + 25}{a^2 + a + 5}$.

Решение.

Для сокращения дроби необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители. Рассмотрим числитель $a^4 + 9a^2 + 25$.

Данное выражение является биквадратным трехчленом. Для его разложения на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Представим средний член $9a^2$ в виде $10a^2 - a^2$, чтобы можно было сгруппировать слагаемые для получения формулы квадрата суммы:

$a^4 + 9a^2 + 25 = a^4 + 10a^2 + 25 - a^2$

Группируем первые три слагаемых:

$(a^4 + 10a^2 + 25) - a^2$

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат суммы $(a^2 + 5)^2$. Таким образом, получаем:

$(a^2 + 5)^2 - a^2$

Теперь мы получили разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^2 + 5$ и $y = a$:

$(a^2 + 5 - a)(a^2 + 5 + a)$

Запишем многочлены в стандартном виде:

$(a^2 - a + 5)(a^2 + a + 5)$

Теперь подставим разложенный на множители числитель обратно в исходную дробь:

$\frac{a^4 + 9a^2 + 25}{a^2 + a + 5} = \frac{(a^2 - a + 5)(a^2 + a + 5)}{a^2 + a + 5}$

Мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(a^2 + a + 5)$. Сократим на него. Это возможно, так как выражение $a^2 + a + 5$ не равно нулю ни при каких действительных значениях $a$ (его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -19$ отрицателен, а старший коэффициент положителен, значит, трехчлен всегда положителен).

$\frac{(a^2 - a + 5)\cancel{(a^2 + a + 5)}}{\cancel{(a^2 + a + 5)}} = a^2 - a + 5$

Ответ: $a^2 - a + 5$