Номер 8.19, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.19, страница 64.

Условие.

8.19. Верно ли утверждение:

1) если $a > b$, то $a > -b$;

2) если $a > b$, то $2a > b$;

3) если $a > b$, то $2a + 1 > 2b$;

4) если $b > a$, то $\frac{b}{a} > 1$;

5) если $\frac{a}{b} > 1$ и $a > 0$, то $a > b$;

6) если $a > b$, то $ab > b^2$;

7) так как $5 > 3$, то $5a^2 > 3a^2$?

Решение.

1) если $a > b$, то $a > -b$

Данное утверждение не всегда верно. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример, то есть найти такие числа $a$ и $b$, для которых условие $a > b$ выполняется, а заключение $a > -b$ — нет.

Пусть $a = 2$ и $b = -3$.

Проверяем истинность условия: $a > b \Rightarrow 2 > -3$. Это верное неравенство.

Теперь проверяем истинность заключения: $a > -b$.

Подставляем значения: $2 > -(-3)$, что равносильно $2 > 3$. Это неверное неравенство.

Так как мы нашли случай, когда из верного условия следует неверное заключение, утверждение в общем виде неверно.

Ответ: неверно.

2) если $a > b$, то $2a > b$

Это утверждение также не всегда верно. Рассмотрим контрпример.

Пусть $a = -0.5$ и $b = -1$.

Проверяем условие: $a > b \Rightarrow -0.5 > -1$. Это верное неравенство.

Теперь проверяем заключение: $2a > b$.

Подставляем значения: $2 \cdot (-0.5) > -1$, что равносильно $-1 > -1$. Это неверное неравенство, так как $-1$ не больше $-1$ (они равны). Строгое неравенство не выполняется.

Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

3) если $a > b$, то $2a + 1 > 2b$

Это утверждение верно. Докажем его, используя свойства числовых неравенств.

1. Нам дано верное неравенство $a > b$.

2. Умножим обе части этого неравенства на положительное число 2. Согласно свойству неравенств, при умножении на положительное число знак неравенства сохраняется: $2a > 2b$.

3. Известно, что $1 > 0$. Тогда очевидно, что $2a + 1 > 2a$.

4. Теперь у нас есть два верных неравенства: $2a + 1 > 2a$ и $2a > 2b$. По свойству транзитивности (если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$), мы можем заключить, что $2a + 1 > 2b$.

Утверждение доказано.

Ответ: верно.

4) если $b > a$, то $\frac{b}{a} > 1$

Утверждение не всегда верно, так как результат деления неравенства зависит от знака делителя.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a > 0$. Если мы делим обе части неравенства $b > a$ на положительное число $a$, знак неравенства не меняется: $\frac{b}{a} > \frac{a}{a}$, то есть $\frac{b}{a} > 1$. В этом случае утверждение верно.

Случай 2: $a < 0$. Если мы делим обе части неравенства $b > a$ на отрицательное число $a$, знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{b}{a} < \frac{a}{a}$, то есть $\frac{b}{a} < 1$. В этом случае утверждение неверно.

Приведем контрпример. Пусть $a = -2$ и $b = -1$.

Условие $b > a$ выполняется, так как $-1 > -2$.

Проверяем заключение: $\frac{b}{a} > 1 \Rightarrow \frac{-1}{-2} > 1 \Rightarrow 0.5 > 1$. Это неверно.

Так как утверждение не выполняется для всех возможных случаев, оно является неверным.

Ответ: неверно.

5) если $\frac{a}{b} > 1$ и $a > 0$, то $a > b$

Это утверждение верно. Проведем логическое доказательство.

1. Из условия $\frac{a}{b} > 1$ следует, что значение дроби является положительным числом.

2. Нам также дано, что числитель $a$ положителен ($a > 0$). Чтобы дробь была положительной при положительном числителе, ее знаменатель также должен быть положительным. Отсюда следует, что $b > 0$.

3. Теперь, зная, что $b > 0$, мы можем умножить обе части неравенства $\frac{a}{b} > 1$ на $b$. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не изменится:

$\frac{a}{b} \cdot b > 1 \cdot b$

$a > b$

Таким образом, мы доказали, что из данных условий следует требуемое заключение.

Ответ: верно.

6) если $a > b$, то $ab > b^2$

Это утверждение не всегда верно. Для анализа преобразуем неравенство $ab > b^2$:

$ab - b^2 > 0$

$b(a - b) > 0$

Из условия $a > b$ следует, что разность $a - b$ всегда положительна, то есть $a - b > 0$.

Теперь истинность неравенства $b(a - b) > 0$ зависит от знака множителя $b$.

Если $b > 0$, то произведение двух положительных чисел ($b$ и $a-b$) будет положительным, и неравенство верно.

Если $b \le 0$, то произведение $b(a-b)$ будет либо отрицательным (при $b<0$), либо равным нулю (при $b=0$). В этих случаях неравенство $b(a-b) > 0$ неверно.

Приведем контрпример. Пусть $a = 3$ и $b = -4$.

Условие $a > b$ выполняется: $3 > -4$.

Проверяем заключение: $ab > b^2 \Rightarrow 3 \cdot (-4) > (-4)^2 \Rightarrow -12 > 16$. Это неверно.

Следовательно, утверждение в общем виде неверно.

Ответ: неверно.

7) так как $5 > 3$, то $5a^2 > 3a^2?$

Утверждение заключается в том, что неравенство $5a^2 > 3a^2$ является верным для любого числа $a$. Проверим это.

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$5a^2 - 3a^2 > 0$

$2a^2 > 0$

Разделим обе части на 2:

$a^2 > 0$

Это неравенство верно для любого действительного числа $a$, не равного нулю. Однако, если $a = 0$, то $a^2 = 0$, и неравенство $0 > 0$ является ложным.

Поскольку исходное утверждение $5a^2 > 3a^2$ не выполняется при $a=0$, оно не является верным для всех возможных значений $a$.

Ответ: неверно.