Номер 8.21, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.21, страница 64.

Условие.

8.21. Известно, что $1 < a < 2$. Докажите, что:

1) $\frac{1}{3} < \frac{1}{2a-1} < 1$;

2) $1 < \frac{4}{3a-2} < 4$.

Решение.

1) Нам дано неравенство $1 < a < 2$. Докажем, что $\frac{1}{3} < \frac{1}{2a - 1} < 1$.
Для доказательства начнем с исходного неравенства и выполним последовательные преобразования, чтобы получить выражение, стоящее в середине доказываемого неравенства.
1. Умножим все части неравенства $1 < a < 2$ на 2 (так как 2 > 0, знаки неравенства не меняются):
$2 \cdot 1 < 2 \cdot a < 2 \cdot 2$
$2 < 2a < 4$
2. Вычтем 1 из всех частей полученного неравенства:
$2 - 1 < 2a - 1 < 4 - 1$
$1 < 2a - 1 < 3$
3. Мы получили, что выражение $2a - 1$ находится в интервале от 1 до 3, следовательно, оно положительно. Мы можем взять обратные величины для всех частей неравенства. При этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$\frac{1}{3} < \frac{1}{2a - 1} < \frac{1}{1}$
Что можно записать как:
$\frac{1}{3} < \frac{1}{2a - 1} < 1$
Таким образом, требуемое неравенство доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Нам дано неравенство $1 < a < 2$. Докажем, что $1 < \frac{4}{3a - 2} < 4$.
Аналогично первому пункту, начнем с исходного неравенства и выполним преобразования.
1. Умножим все части неравенства $1 < a < 2$ на 3 (так как 3 > 0, знаки неравенства не меняются):
$3 \cdot 1 < 3 \cdot a < 3 \cdot 2$
$3 < 3a < 6$
2. Вычтем 2 из всех частей полученного неравенства:
$3 - 2 < 3a - 2 < 6 - 2$
$1 < 3a - 2 < 4$
3. Выражение $3a - 2$ находится в интервале от 1 до 4, следовательно, оно положительно. Возьмем обратные величины для всех частей неравенства, изменив знаки неравенства на противоположные:
$\frac{1}{4} < \frac{1}{3a - 2} < \frac{1}{1}$
$\frac{1}{4} < \frac{1}{3a - 2} < 1$
4. Умножим все части полученного неравенства на 4 (так как 4 > 0, знаки неравенства не меняются):
$4 \cdot \frac{1}{4} < 4 \cdot \frac{1}{3a - 2} < 4 \cdot 1$
$1 < \frac{4}{3a - 2} < 4$
Таким образом, требуемое неравенство доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.