Вопросы?, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 9. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения - страница 69.

Условие.

1. Сформулируйте теорему о почленном сложении неравенств.

2. Объясните, какие неравенства называют неравенствами одного знака, а какие неравенства — неравенствами противоположных знаков.

3. Сформулируйте теорему о почленном умножении неравенств.

4. Сформулируйте следствие из теоремы о почленном умножении неравенств.

Решение.

1. Сформулируйте теорему о почленном сложении неравенств.

Теорема о почленном сложении неравенств гласит, что если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство того же знака.

Формально, если даны два верных неравенства одного знака $a < b$ и $c < d$, то их сумма также будет верным неравенством того же знака:
$a + c < b + d$

Аналогично, если $a > b$ и $c > d$, то:
$a + c > b + d$

Эта теорема справедлива для любого количества неравенств и для нестрогих неравенств ($\leq$, $\geq$).

Ответ: При почленном сложении верных неравенств одного знака результатом является верное неравенство того же знака.

2. Объясните, какие неравенства называют неравенствами одного знака, а какие неравенства — неравенствами противоположных знаков.

Неравенствами одного знака называют два или более неравенства, в которых используются знаки одинаковой направленности. То есть, все неравенства используют либо знак «меньше» ($<$) или «меньше или равно» ($\leq$), либо знак «больше» ($>$) или «больше или равно» ($\geq$).

Примеры неравенств одного знака:

• $5 > 3$ и $10 > 1$ (оба знака «больше»)
• $x < 7$ и $y < 12$ (оба знака «меньше»)

Неравенствами противоположных знаков называют два неравенства, в которых знаки имеют противоположную направленность. То есть, одно неравенство использует знак «меньше» (или «меньше или равно»), а другое — знак «больше» (или «больше или равно»).

Примеры неравенств противоположных знаков:

• $8 > 2$ и $4 < 9$
• $a \leq b$ и $c \geq d$

Ответ: Неравенства одного знака имеют одинаково направленные знаки неравенства (например, $>$ и $>$), а неравенства противоположных знаков — противоположно направленные (например, $>$ и $<$).

3. Сформулируйте теорему о почленном умножении неравенств.

Теорема о почленном умножении неравенств гласит, что если почленно перемножить верные неравенства одного знака, у которых все части (левые и правые) — положительные числа, то получится верное неравенство того же знака.

Формально, если даны два верных неравенства $a < b$ и $c < d$, и при этом $a, b, c, d$ — положительные числа ($a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$), то их произведение также будет верным неравенством того же знака:
$ac < bd$

Аналогично, если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то:
$ac > bd$

Важно помнить, что эта теорема применима только для неравенств с положительными частями.

Ответ: При почленном умножении верных неравенств одного знака, все части которых положительны, результатом является верное неравенство того же знака.

4. Сформулируйте следствие из теоремы о почленном умножении неравенств.

Следствие из теоремы о почленном умножении неравенств касается возведения в натуральную степень. Оно гласит, что если обе части верного неравенства являются положительными числами, то при возведении их в одну и ту же натуральную степень получится верное неравенство того же знака.

Формально, если $a > b > 0$ и $n$ — натуральное число ($n \in N$), то:
$a^n > b^n$

Аналогично, если $0 < a < b$ и $n \in N$, то:
$a^n < b^n$

Это следствие вытекает из многократного применения теоремы о почленном умножении неравенства самого на себя.

Ответ: Если $a$ и $b$ — положительные числа и $a > b$, то $a^n > b^n$ для любого натурального числа $n$.