Номер 9.7, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 9. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения - номер 9.7, страница 69.

Условие.

9.7. Верно ли утверждение:

1) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 8$;

2) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9,2$;

3) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a - b > -5$;

4) если $a > 2$ и $b > 7$, то $ab > 13$;

5) если $a > 2$ и $b < -7$, то $a - b > 9$;

6) если $a < 2$ и $b < 7$, то $ab < 14$;

7) если $a > 2$, то $a^2 > 4$;

8) если $a < 2$, то $a^2 < 4?$

Решение.

1) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 8$
Даны неравенства $a > 2$ и $b > 7$. Так как оба неравенства строгого знака и направлены в одну сторону, мы можем их сложить почленно:
$a + b > 2 + 7$
$a + b > 9$
Поскольку $9 > 8$, то любое число, которое больше 9, автоматически будет больше 8. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

2) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9,2$
Из предыдущего пункта мы знаем, что если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9$. Утверждение, что $a + b$ должно быть больше 9,2, не всегда верно. Можно привести контрпример.
Пусть $a = 2,1$ (что больше 2) и $b = 7,1$ (что больше 7).
Тогда их сумма $a + b = 2,1 + 7,1 = 9,2$.
Значение 9,2 не больше, чем 9,2 ($9,2 = 9,2$). Таким образом, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

3) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a - b > -5$
Рассмотрим это утверждение. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти один контрпример.
Возьмем значение $a$, близкое к 2, и достаточно большое значение $b$.
Пусть $a = 3$ (что больше 2) и $b = 9$ (что больше 7).
Тогда разность $a - b = 3 - 9 = -6$.
Неравенство $-6 > -5$ является ложным. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

4) если $a > 2$ и $b > 7$, то $ab > 13$
Даны неравенства $a > 2$ и $b > 7$. Поскольку обе части в каждом из неравенств положительны, мы можем их перемножить почленно, сохранив знак неравенства:
$ab > 2 \times 7$
$ab > 14$
Поскольку $14 > 13$, то любое число, которое больше 14, автоматически будет больше 13. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

5) если $a > 2$ и $b < -7$, то $a - b > 9$
Дано $a > 2$ и $b < -7$. Преобразуем второе неравенство. Умножим обе его части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$b < -7 \implies -b > 7$
Теперь у нас есть два неравенства одного знака: $a > 2$ и $-b > 7$. Сложим их:
$a + (-b) > 2 + 7$
$a - b > 9$
Полученное неравенство совпадает с утверждением. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

6) если $a < 2$ и $b < 7$, то $ab < 14$
Это утверждение неверно, так как переменные $a$ и $b$ могут быть отрицательными. Перемножать неравенства можно только если их части положительны. Приведем контрпример.
Пусть $a = -3$ (что меньше 2) и $b = -5$ (что меньше 7).
Тогда их произведение $ab = (-3) \times (-5) = 15$.
Неравенство $15 < 14$ является ложным. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

7) если $a > 2$, то $a^2 > 4$
Дано неравенство $a > 2$. Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$a^2 > 2^2$
$a^2 > 4$
Утверждение верно.
Ответ: верно.

8) если $a < 2$, то $a^2 < 4$
Утверждение неверно, так как $a$ может принимать отрицательные значения. Неравенство $a^2 < 4$ равносильно $|a| < 2$, что в свою очередь означает $-2 < a < 2$.
Исходное условие $a < 2$ включает в себя числа, которые не входят в интервал $(-2, 2)$, например, $a = -3$.
Приведем контрпример. Пусть $a = -3$ (что меньше 2).
Тогда $a^2 = (-3)^2 = 9$.
Неравенство $9 < 4$ является ложным. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.