Номер 9.12, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 9. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения - номер 9.12, страница 70.

Условие.

9.12. Докажите утверждение:

1) если $a < b < 0$, то $a^2 > b^2$;

2) если $a > 0$, $b > 0$ и $a^2 > b^2$, то $a > b$.

Решение.

1)

Дано неравенство $a < b < 0$. Требуется доказать, что $a^2 > b^2$.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим разность $a^2 - b^2$. Если эта разность положительна, то утверждение верно.

Воспользуемся формулой разности квадратов:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Теперь определим знак каждого множителя. Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ отрицательна, то есть $a - b < 0$. Так как $a$ и $b$ — отрицательные числа ($a < 0$, $b < 0$), их сумма $a + b$ также будет отрицательной: $a + b < 0$.

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Следовательно, произведение $(a - b)(a + b)$ будет положительным:

$(a - b)(a + b) > 0$

Это означает, что $a^2 - b^2 > 0$, откуда следует, что $a^2 > b^2$.

Ответ: что и требовалось доказать.

2)

Дано, что $a > 0$, $b > 0$ и $a^2 > b^2$. Требуется доказать, что $a > b$.

Начнем с данного неравенства $a^2 > b^2$. Перенесем $b^2$ в левую часть:

$a^2 - b^2 > 0$

Применим формулу разности квадратов:

$(a - b)(a + b) > 0$

Определим знак каждого множителя. По условию, $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0$, $b > 0$), поэтому их сумма $a + b$ также положительна: $a + b > 0$.

Произведение $(a - b)(a + b)$ положительно. Поскольку один из множителей, $(a + b)$, положителен, то для того, чтобы произведение было положительным, второй множитель, $(a - b)$, также должен быть положительным.

Следовательно, $a - b > 0$.

Из этого неравенства получаем, что $a > b$.

Ответ: что и требовалось доказать.