Вопросы?, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - страница 75.

Условие.

1. Что называют решением неравенства с одной переменной?

2. Что означает решить неравенство?

3. Что образуют все решения неравенства?

4. Какие неравенства называют равносильными?

5. Сформулируйте теоремы, с помощью которых можно получить неравенство, равносильное данному.

6. Какие неравенства называют линейными неравенствами с одной переменной?

7. Как записывают, читают и изображают промежуток, являющийся множеством решений неравенства вида: $x > a; x < a; x \ge a; x \le a$?

8. Решением неравенства является любое число. Как в таком случае записывают и читают промежуток, являющийся множеством решений неравенства?

Решение.

1. Что называют решением неравенства с одной переменной?
Решением неравенства с одной переменной называется значение этой переменной, которое при подстановке в неравенство обращает его в верное числовое неравенство. Например, для неравенства $x > 5$ число 7 является решением, так как $7 > 5$ — это верное неравенство. А число 3 решением не является, так как $3 > 5$ — неверное неравенство.
Ответ: значение переменной, обращающее неравенство в верное числовое неравенство.

2. Что означает решить неравенство?
Решить неравенство — это значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Процесс решения обычно включает в себя преобразования, которые приводят к более простому равносильному неравенству, из которого легко определить множество всех решений.
Ответ: найти все его решения или доказать, что их не существует.

3. Что образуют все решения неравенства?
Все решения неравенства образуют множество, которое называют множеством решений неравенства. Чаще всего это множество представляет собой числовой промежуток (интервал, отрезок, луч) или объединение нескольких таких промежутков. Также множество решений может быть пустым, если неравенство не имеет решений.
Ответ: множество решений неравенства.

4. Какие неравенства называют равносильными?
Неравенства, которые имеют одно и то же множество решений, называют равносильными. Если два неравенства не имеют решений, они также считаются равносильными. Например, неравенства $2x > 4$ и $x > 2$ равносильны, так как их множеством решений является один и тот же промежуток $(2; +\infty)$.
Ответ: неравенства, имеющие одинаковые множества решений.

5. Сформулируйте теоремы, с помощью которых можно получить неравенство, равносильное данному.
Существуют следующие основные правила (теоремы) для получения равносильных неравенств:
1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.
3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный ($>$ на $<$, $<$ на $>$, $\ge$ на $\le$, $\le$ на $\ge$), то получится равносильное ему неравенство.
Ответ: 1) можно переносить слагаемые из одной части в другую, меняя их знак; 2) можно умножать/делить обе части на положительное число; 3) можно умножать/делить обе части на отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный.

6. Какие неравенства называют линейными неравенствами с одной переменной?
Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство вида $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$ или $ax + b \le 0$, где $a$ и $b$ — любые числа (коэффициенты), а $x$ — переменная. Важным условием является то, что коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).
Ответ: неравенства вида $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$, $ax + b \le 0$, где $a \ne 0$.

7. Как записывают, читают и изображают промежуток, являющийся множеством решений неравенства вида: $x > a; x < a; x \ge a; x \le a$?
Для каждого вида неравенства существуют свои обозначения:
• Для $x > a$: записывают $(a; +\infty)$, читают "числовой промежуток от $a$ до плюс бесконечности". На числовой прямой изображают штриховкой области справа от точки $a$, при этом сама точка $a$ "выкалывается" (обозначается пустым кружком), так как она не входит в решение.
• Для $x < a$: записывают $(-\infty; a)$, читают "числовой промежуток от минус бесконечности до $a$". На числовой прямой изображают штриховкой области слева от точки $a$, при этом сама точка $a$ "выкалывается".
• Для $x \ge a$: записывают $[a; +\infty)$, читают "числовой промежуток от $a$ до плюс бесконечности, включая $a$". На числовой прямой изображают штриховкой области справа от точки $a$, при этом сама точка $a$ "закрашивается" (обозначается сплошным кружком), так как она входит в решение.
• Для $x \le a$: записывают $(-\infty; a]$, читают "числовой промежуток от минус бесконечности до $a$, включая $a$". На числовой прямой изображают штриховкой области слева от точки $a$, при этом сама точка $a$ "закрашивается".
Ответ: $x>a \Leftrightarrow (a; +\infty)$; $x<a \Leftrightarrow (-\infty; a)$; $x\ge a \Leftrightarrow [a; +\infty)$; $x\le a \Leftrightarrow (-\infty; a]$. На числовой прямой строгие неравенства ($>$, $<$) обозначают выколотой точкой, нестрогие ($\ge$, $\le$) — закрашенной.

8. Решением неравенства является любое число. Как в таком случае записывают и читают промежуток, являющийся множеством решений неравенства?
Если решением неравенства является любое число, это означает, что множество решений совпадает с множеством всех действительных чисел $\mathbb{R}$. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; +\infty)$. Читается данный промежуток как "от минус бесконечности до плюс бесконечности".
Ответ: записывают $(-\infty; +\infty)$ и читают "от минус бесконечности до плюс бесконечности".