Номер 10.5, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.5, страница 76.

Условие.

10.5. Среди данных неравенств укажите неравенство, решением которого является любое число, и неравенство, не имеющее решений:

1) $ \frac{x^2 + 1}{x^2} \ge 0; $

2) $ \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} < 1; $

3) $ \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} \ge 1; $

4) $ \frac{x^2}{x^2 + 1} \ge 0. $

Решение.

Для того чтобы найти неравенства, удовлетворяющие условиям задачи, проанализируем каждое из предложенных неравенств.

1) $\frac{x^2 + 1}{x^2} \geqslant 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неравенства знаменателя нулю: $x^2 \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
Рассмотрим числитель дроби: поскольку $x^2 \geqslant 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 1 \geqslant 1$. Таким образом, числитель всегда строго положителен.
Рассмотрим знаменатель: для любого $x$ из ОДЗ (то есть при $x \neq 0$) выражение $x^2$ также строго положительно.
Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, неравенство выполняется для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.

2) $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} < 1$

ОДЗ: знаменатель $x^2 + 1$ не должен быть равен нулю. Так как $x^2 \geqslant 0$, то $x^2 + 1 \geqslant 1$. Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль. ОДЗ: $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).
При любом действительном $x$ числитель и знаменатель дроби равны и не равны нулю, поэтому значение дроби всегда равно 1.
Таким образом, неравенство сводится к неверному числовому неравенству $1 < 1$.
Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3) $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} \geqslant 1$

ОДЗ: знаменатель $x^2 - 1$ не должен быть равен нулю. Решая уравнение $x^2 - 1 = 0$, получаем $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ и $x = -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
При всех $x$ из ОДЗ значение дроби равно 1, так как числитель и знаменатель равны.
Неравенство принимает вид $1 \geqslant 1$. Это верное числовое неравенство.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$.

4) $\frac{x^2}{x^2 + 1} \geqslant 0$

ОДЗ: знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен ($x^2 + 1 \geqslant 1$), поэтому ОДЗ: $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).
Числитель $x^2 \geqslant 0$ для любого действительного $x$.
Знаменатель $x^2 + 1 > 0$ для любого действительного $x$.
Дробь является отношением неотрицательного числа ($x^2$) к положительному числу ($x^2 + 1$). Такое отношение всегда будет неотрицательным (равным нулю при $x=0$ и положительным при $x \neq 0$).
Следовательно, неравенство выполняется при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $x$ — любое число ($x \in \mathbb{R}$).

Итог:

Неравенство, решением которого является любое число: 4) $\frac{x^2}{x^2 + 1} \geqslant 0$.

Неравенство, не имеющее решений: 2) $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} < 1$.