Номер 10.4, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.4, страница 76.

Условие.

10.4. Множеством решений каких из данных неравенств является множество всех чисел:

1) $x^2 > 0;$

2) $x > -x;$

3) $-x^2 \le 0;$

4) $|x| \ge 0?$

Решение.

Проанализируем каждое из предложенных неравенств, чтобы определить, для каких из них множеством решений является множество всех действительных чисел.

1) $x^2 > 0$;

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Неравенство $x^2 > 0$ является строгим, поэтому оно не выполняется только в том случае, когда $x^2 = 0$. Это происходит при $x = 0$. Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме 0. Множество решений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Множество решений данного неравенства не является множеством всех чисел.

2) $x > -x$;

Для решения этого неравенства прибавим $x$ к обеим его частям:

$x + x > -x + x$

$2x > 0$

Разделим обе части на 2 (поскольку $2 > 0$, знак неравенства не меняется):

$x > 0$

Множеством решений являются все положительные числа, то есть интервал $(0; +\infty)$.

Ответ: Множество решений данного неравенства не является множеством всех чисел.

3) $-x^2 \le 0$;

Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ всегда неотрицателен: $x^2 \ge 0$. Умножим обе части этого верного неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-1 \cdot x^2 \le -1 \cdot 0$

$-x^2 \le 0$

Данное неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: Множество решений данного неравенства является множеством всех чисел.

4) $|x| \ge 0$?

Модуль (абсолютная величина) любого действительного числа по определению является неотрицательным. Это означает, что $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$. Неравенство выполняется при всех значениях $x$.

Ответ: Множество решений данного неравенства является множеством всех чисел.

Таким образом, неравенства, множеством решений которых является множество всех чисел, — это неравенства под номерами 3 и 4.