Номер 10.1, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 10. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки - номер 10.1, страница 76.

Условие.

10.1. Множеством решений какого из данных неравенств является пустое множество:

1) $(x-3)^2 > 0;$

2) $(x-3)^2 \ge 0;$

3) $(x-3)^2 < 0;$

4) $(x-3)^2 \le 0?$

Решение.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать каждое из предложенных неравенств, чтобы определить, какое из них не имеет решений (то есть его множество решений является пустым). Мы будем использовать основное свойство квадрата действительного числа: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $a^2 \geq 0$ для любого $a \in \mathbb{R}$.

1) $(x-3)^2 > 0$;

Выражение $(x-3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно. Оно равно нулю только при $x-3=0$, то есть при $x=3$. Для всех остальных значений $x$ (то есть при $x \neq 3$) выражение $(x-3)^2$ будет строго положительным. Следовательно, множество решений этого неравенства — все действительные числа, кроме 3. Это множество не является пустым.
Ответ: множество решений $(-\infty; 3) \cup (3; \infty)$, не является пустым.

2) $(x-3)^2 \geq 0$;

Как уже было сказано, квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это означает, что данное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$. Множество решений — все действительные числа. Это множество не является пустым.
Ответ: множество решений $(-\infty; \infty)$, не является пустым.

3) $(x-3)^2 < 0$;

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Выражение $(x-3)^2$ всегда принимает значения, которые больше или равны нулю. Следовательно, не существует ни одного значения $x$, при котором $(x-3)^2$ было бы меньше нуля. Множество решений этого неравенства пусто.
Ответ: множество решений является пустым множеством ($\emptyset$).

4) $(x-3)^2 \leq 0$;

Это неравенство выполняется в двух случаях: либо $(x-3)^2 < 0$, либо $(x-3)^2 = 0$. Мы уже выяснили, что неравенство $(x-3)^2 < 0$ не имеет решений. Однако уравнение $(x-3)^2 = 0$ имеет одно решение: $x=3$. Таким образом, единственным решением неравенства $(x-3)^2 \leq 0$ является $x=3$. Множество решений состоит из одного элемента $\{3\}$ и не является пустым.
Ответ: множество решений $\{3\}$, не является пустым.

Таким образом, неравенство, множеством решений которого является пустое множество, находится под номером 3.