Номер 8.22, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.22, страница 64.

Условие.

8.22. Докажите, что если:

1) $2 < a < 3$, то $\frac{1}{a-2} > 1$;

2) $-3 < a < -1$, то $\frac{1}{a+1} < -\frac{1}{2}$.

Решение.

1) Начнем с данного неравенства: $2 < a < 3$.
Чтобы получить в неравенстве выражение $a-2$, которое находится в знаменателе доказываемого неравенства, вычтем 2 из всех частей исходного двойного неравенства:
$2 - 2 < a - 2 < 3 - 2$
$0 < a - 2 < 1$
Из этого следует, что выражение $a-2$ является положительным числом, которое меньше 1. Рассмотрим правую часть этого неравенства: $a - 2 < 1$.
Поскольку мы знаем, что $a - 2 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства $a - 2 < 1$ на $a - 2$. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:
$\frac{a-2}{a-2} < \frac{1}{a-2}$
Упрощая левую часть, получаем:
$1 < \frac{1}{a-2}$
Это неравенство эквивалентно тому, что требовалось доказать: $\frac{1}{a-2} > 1$.
Ответ: Доказано.

2) Начнем с данного неравенства: $-3 < a < -1$.
Чтобы получить в неравенстве выражение $a+1$, прибавим 1 ко всем частям исходного двойного неравенства:
$-3 + 1 < a + 1 < -1 + 1$
$-2 < a + 1 < 0$
Из этого неравенства видно, что выражение $a+1$ является отрицательным числом. Рассмотрим левую часть полученного неравенства: $-2 < a + 1$.
Так как обе части этого неравенства ($-2$ и $a+1$) отрицательны, мы можем взять от них обратные величины. Согласно свойству неравенств, при выполнении этого действия с отрицательными числами знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{1}{-2} > \frac{1}{a+1}$
Запишем полученное неравенство в другом виде:
$-\frac{1}{2} > \frac{1}{a+1}$
Это неравенство эквивалентно тому, что требовалось доказать: $\frac{1}{a+1} < -\frac{1}{2}$.
Ответ: Доказано.