Номер 7.13, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.13, страница 59.

Условие.

7.13. Если Федя идёт вниз по движущемуся эскалатору, то тратит на спуск 1 мин. Если Федя увеличит собственную скорость в 2 раза, то спустится за 45 с. За какое время Федя спустится, стоя на эскалаторе неподвижно?

Решение.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $L$ – длина эскалатора, $v_ф$ – собственная скорость Феди (скорость, с которой он идет по ступеням), $v_э$ – скорость эскалатора.

В первом случае, когда Федя идет вниз, его скорость относительно земли складывается из его собственной скорости и скорости эскалатора: $v_{общ1} = v_ф + v_э$. Время спуска составляет $t_1 = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$. Длину эскалатора можно выразить как произведение скорости на время:

$L = (v_ф + v_э) \cdot 60$

Во втором случае Федя увеличивает собственную скорость в 2 раза, то есть она становится $2v_ф$. Его общая скорость относительно земли теперь равна $v_{общ2} = 2v_ф + v_э$. Время спуска в этом случае составляет $t_2 = 45 \text{ с}$. Длина эскалатора выражается аналогично:

$L = (2v_ф + v_э) \cdot 45$

Поскольку длина эскалатора $L$ является постоянной величиной, мы можем приравнять правые части двух полученных уравнений:

$60(v_ф + v_э) = 45(2v_ф + v_э)$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 15:

$4(v_ф + v_э) = 3(2v_ф + v_э)$

Раскроем скобки:

$4v_ф + 4v_э = 6v_ф + 3v_э$

Перенесем члены с $v_ф$ в одну сторону, а с $v_э$ – в другую, чтобы найти соотношение между скоростями:

$4v_э - 3v_э = 6v_ф - 4v_ф$

$v_э = 2v_ф$

Из этого соотношения следует, что скорость эскалатора вдвое больше собственной скорости ходьбы Феди.

Теперь нам нужно найти время $t_3$, за которое Федя спустится, если будет стоять на эскалаторе неподвижно. В этом случае его скорость относительно земли будет равна скорости эскалатора $v_э$. Время спуска определяется формулой:

$t_3 = \frac{L}{v_э}$

Чтобы найти $t_3$, подставим найденное соотношение $v_ф = \frac{v_э}{2}$ в одно из первоначальных уравнений для $L$. Возьмем первое уравнение:

$L = 60(v_ф + v_э) = 60(\frac{v_э}{2} + v_э) = 60(\frac{3}{2}v_э) = 90v_э$

Теперь, зная выражение для $L$, мы можем вычислить $t_3$:

$t_3 = \frac{90v_э}{v_э} = 90 \text{ с}$

Таким образом, Федя спустится за 90 секунд, стоя на эскалаторе неподвижно. Это составляет 1,5 минуты.

Ответ: 90 с.