Номер 7.8, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.8, страница 58.

Условие.

7.8. При каких значениях параметра b уравнение имеет единственное решение:

1) $ \frac{(x+3)(x-8)}{x+b} = 0; $

2) $ \frac{(x+2b)(x-4b)}{x-2} = 0; $

3) $ \frac{(x-2)(x+1)}{(x+b)(x-2b)} = 0; $

4) $ \frac{(x+b)(x-5b)}{(x-3)(x+5)} = 0? $

Решение.

1) Уравнение имеет вид $\frac{(x+3)(x-8)}{x+b}=0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Найдем корни числителя, приравняв его к нулю:
$(x+3)(x-8)=0$
Корни числителя: $x_1 = -3$ и $x_2 = 8$.
2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), приравняв знаменатель к нулю и исключив это значение:
$x+b \neq 0 \implies x \neq -b$.
Уравнение будет иметь единственное решение, если один из корней числителя совпадет со значением $x$, которое обращает знаменатель в ноль. В этом случае один из двух потенциальных корней будет исключен.
Рассмотрим два случая:
а) Корень $x_1 = -3$ исключается. Это произойдет, если $-b = -3$, то есть $b=3$. В этом случае единственным решением будет $x=8$.
б) Корень $x_2 = 8$ исключается. Это произойдет, если $-b = 8$, то есть $b=-8$. В этом случае единственным решением будет $x=-3$.
Ответ: $b=3$ или $b=-8$.

2) Уравнение имеет вид $\frac{(x+2b)(x-4b)}{x-2}=0$.
1. Корни числителя: $(x+2b)(x-4b)=0$, откуда $x_1 = -2b$ и $x_2 = 4b$.
2. ОДЗ: $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
Уравнение будет иметь единственное решение в двух случаях:
а) Корни числителя совпадают ($x_1=x_2$) и этот корень не равен 2.
$-2b = 4b \implies 6b=0 \implies b=0$.
При $b=0$ оба корня равны $x=0$. Так как $0 \neq 2$, это значение является единственным решением.
б) Корни числителя различны ($b \neq 0$), но один из них равен 2 (и, следовательно, исключается из решений).
– Если $x_1 = 2$: $-2b = 2 \implies b=-1$. При $b=-1$ корни числителя $x_1=2$ и $x_2=4(-1)=-4$. Корень $x=2$ исключается, остается единственный корень $x=-4$.
– Если $x_2 = 2$: $4b = 2 \implies b=1/2$. При $b=1/2$ корни числителя $x_1=-2(1/2)=-1$ и $x_2=2$. Корень $x=2$ исключается, остается единственный корень $x=-1$.
Ответ: $b \in \{-1, 0, 1/2\}$.

3) Уравнение имеет вид $\frac{(x-2)(x+1)}{(x+b)(x-2b)}=0$.
1. Корни числителя: $(x-2)(x+1)=0$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
2. ОДЗ: $(x+b)(x-2b) \neq 0$, то есть $x \neq -b$ и $x \neq 2b$.
Уравнение будет иметь единственное решение, если ровно один из корней числителя ($2$ или $-1$) будет исключен из-за ОДЗ.
Рассмотрим случаи, когда корень числителя совпадает с одним из запрещенных значений:
а) Корень $x_1=2$ исключается.
– Если $2=-b \implies b=-2$. Запрещенными значениями будут $x \neq -(-2)=2$ и $x \neq 2(-2)=-4$. Корень $x=2$ исключен. Второй корень $x=-1$ не совпадает с запрещенными значениями. Следовательно, при $b=-2$ есть одно решение $x=-1$.
– Если $2=2b \implies b=1$. Запрещенными значениями будут $x \neq -1$ и $x \neq 2(1)=2$. В этом случае оба корня числителя ($x=2$ и $x=-1$) исключаются, и решений нет.
б) Корень $x_2=-1$ исключается.
– Если $-1=-b \implies b=1$. Этот случай мы уже рассмотрели, решений нет.
– Если $-1=2b \implies b=-1/2$. Запрещенными значениями будут $x \neq -(-1/2)=1/2$ и $x \neq 2(-1/2)=-1$. Корень $x=-1$ исключен. Второй корень $x=2$ не совпадает с запрещенными значениями. Следовательно, при $b=-1/2$ есть одно решение $x=2$.
Также проверим случай, когда запрещенные значения совпадают: $-b=2b \implies 3b=0 \implies b=0$. При $b=0$ запрещено $x=0$, а корни числителя $2$ и $-1$ не исключаются, то есть будет два решения.
Ответ: $b=-2$ или $b=-1/2$.

4) Уравнение имеет вид $\frac{(x+b)(x-5b)}{(x-3)(x+5)}=0$.
1. Корни числителя: $(x+b)(x-5b)=0$, откуда $x_1=-b$ и $x_2=5b$.
2. ОДЗ: $(x-3)(x+5) \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq -5$.
Уравнение будет иметь единственное решение в двух случаях:
а) Корни числителя совпадают, и этот корень не принадлежит множеству $\{3, -5\}$.
$-b = 5b \implies 6b=0 \implies b=0$.
При $b=0$ оба корня равны $x=0$. Так как $0 \neq 3$ и $0 \neq -5$, это значение является единственным решением.
б) Корни числителя различны ($b \neq 0$), но один из них совпадает с запрещенным значением ($3$ или $-5$), а другой — нет.
– Корень $x_1=-b$ исключается:
- $-b=3 \implies b=-3$. Корни числителя: $x_1=3$ и $x_2=5(-3)=-15$. Корень $x=3$ исключен. Остается решение $x=-15$ (которое не равно $-5$).
- $-b=-5 \implies b=5$. Корни числителя: $x_1=-5$ и $x_2=5(5)=25$. Корень $x=-5$ исключен. Остается решение $x=25$ (которое не равно $3$).
– Корень $x_2=5b$ исключается:
- $5b=3 \implies b=3/5$. Корни числителя: $x_1=-(3/5)=-3/5$ и $x_2=3$. Корень $x=3$ исключен. Остается решение $x=-3/5$ (которое не равно $-5$).
- $5b=-5 \implies b=-1$. Корни числителя: $x_1=-(-1)=1$ и $x_2=-5$. Корень $x=-5$ исключен. Остается решение $x=1$ (которое не равно $3$).
Ответ: $b \in \{-3, -1, 0, 3/5, 5\}$.