Номер 7.4, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.4, страница 57.

Условие.

7.4. Для каждого значения параметра b решите уравнение:

1) $\frac{(x - 2)(x - 3)}{x + b} = 0;$

2) $\frac{x + b}{(x + 1)(x - 4)} = 0;$

3) $\frac{x + 2b}{(x - b + 1)x} = 0;$

4) $\frac{(x + 2b)(x - 3)}{x - b} = 0.$

Решение.

1) $\frac{(x-2)(x-3)}{x+b} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} (x-2)(x-3) = 0 \\ x+b \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим возможные корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Из второго условия получаем $x \neq -b$.

Рассмотрим случаи, когда один из корней не удовлетворяет условию $x \neq -b$.

1. Корень $x=2$ не является решением, если $2 = -b$, то есть $b = -2$. В этом случае единственным решением будет $x=3$, так как $3 \neq -(-2)$, то есть $3 \neq 2$.

2. Корень $x=3$ не является решением, если $3 = -b$, то есть $b = -3$. В этом случае единственным решением будет $x=2$, так как $2 \neq -(-3)$, то есть $2 \neq 3$.

3. Если $b \neq -2$ и $b \neq -3$, то оба корня, $x=2$ и $x=3$, удовлетворяют условию $x \neq -b$. В этом случае уравнение имеет два корня.

Ответ: если $b = -2$, то $x=3$; если $b = -3$, то $x=2$; если $b \neq -2$ и $b \neq -3$, то $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

2) $\frac{x+b}{(x+1)(x-4)} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x+b = 0 \\ (x+1)(x-4) \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим возможный корень: $x = -b$.

Из второго условия получаем $x \neq -1$ и $x \neq 4$.

Корень $x = -b$ будет решением уравнения, если он не совпадает с запрещенными значениями.

1. Если $-b = -1$, то есть $b=1$, то корень $x=-1$ не удовлетворяет условию $x \neq -1$. В этом случае решений нет.

2. Если $-b = 4$, то есть $b=-4$, то корень $x=4$ не удовлетворяет условию $x \neq 4$. В этом случае решений нет.

3. Если $b \neq 1$ и $b \neq -4$, то корень $x=-b$ является решением уравнения.

Ответ: если $b = 1$ или $b = -4$, то корней нет; если $b \neq 1$ и $b \neq -4$, то $x = -b$.

3) $\frac{x+2b}{(x-b+1)x} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x+2b = 0 \\ (x-b+1)x \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим возможный корень: $x = -2b$.

Из второго условия получаем $x \neq 0$ и $x \neq b-1$.

Корень $x = -2b$ будет решением уравнения, если он не совпадает с запрещенными значениями.

1. Если $-2b = 0$, то есть $b=0$, то корень $x=0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$. В этом случае решений нет.

2. Если $-2b = b-1$, то есть $-3b = -1$, $b = \frac{1}{3}$, то корень $x = -2(\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}$ совпадает с запрещенным значением $x = b-1 = \frac{1}{3}-1 = -\frac{2}{3}$. В этом случае решений нет.

3. Если $b \neq 0$ и $b \neq \frac{1}{3}$, то корень $x = -2b$ является решением уравнения.

Ответ: если $b=0$ или $b=\frac{1}{3}$, то корней нет; если $b \neq 0$ и $b \neq \frac{1}{3}$, то $x = -2b$.

4) $\frac{(x+2b)(x-3)}{x-b} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} (x+2b)(x-3) = 0 \\ x-b \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим возможные корни: $x_1 = -2b$, $x_2 = 3$.

Из второго условия получаем $x \neq b$.

Рассмотрим, при каких значениях $b$ найденные корни будут решениями.

Корень $x=3$ является решением, если $3 \neq b$.

Корень $x=-2b$ является решением, если $-2b \neq b$, то есть $-3b \neq 0$, что означает $b \neq 0$.

Проанализируем все возможные случаи для параметра $b$.

1. Если $b=3$. Тогда корень $x=3$ не является решением. Второй корень $x = -2b = -2(3) = -6$. Проверяем условие: $-6 \neq b=3$. Условие выполняется, значит, $x=-6$ — единственный корень.

2. Если $b=0$. Тогда корень $x=-2b=0$ не является решением. Второй корень $x=3$. Проверяем условие: $3 \neq b=0$. Условие выполняется, значит, $x=3$ — единственный корень.

3. Рассмотрим случай, когда корни числителя совпадают: $-2b=3$, то есть $b = -\frac{3}{2}$. В этом случае единственный возможный корень $x=3$. Проверяем условие: $3 \neq b = -\frac{3}{2}$. Условие выполняется, значит, $x=3$ — единственный корень.

4. Если $b \neq 3$, $b \neq 0$ и $b \neq -\frac{3}{2}$. В этом случае оба корня, $x=3$ и $x=-2b$, различны и удовлетворяют условию $x \neq b$. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: если $b=3$, то $x=-6$; если $b=0$ или $b=-\frac{3}{2}$, то $x=3$; если $b \notin \{0, 3, -\frac{3}{2}\}$, то $x_1 = -2b$, $x_2 = 3$.