Номер 7.1, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.1, страница 56.

Условие.

7.1. Для каждого значения параметра a решите уравнение:

1) $\frac{x-a}{x-1} = 0;$

2) $\frac{x+2}{x-a} = 0;$

3) $\frac{a(x-1)}{x-1} = 0;$

4) $\frac{a(x-a)}{x-3} = 0;$

5) $\frac{x-2a}{x+a} = 0;$

6) $\frac{a(x-4)}{x-a} = 0.$

Решение.

1) Рассматриваем уравнение $\frac{x-a}{x-1} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - a = 0, \\ x - 1 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x=a$.

Для того чтобы $x=a$ было корнем, необходимо, чтобы выполнялось условие $x \neq 1$, то есть $a \neq 1$.

Следовательно, получаем два случая:

1. При $a=1$, корень числителя $x=1$ не удовлетворяет условию $x \neq 1$. В этом случае уравнение не имеет решений.

2. При $a \neq 1$, корень $x=a$ удовлетворяет условию $x \neq 1$. В этом случае уравнение имеет единственный корень $x=a$.

Ответ: если $a=1$, то корней нет; если $a \neq 1$, то $x=a$.

2) Рассматриваем уравнение $\frac{x+2}{x-a} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 2 = 0, \\ x - a \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x=-2$.

Для того чтобы $x=-2$ было корнем, необходимо, чтобы выполнялось условие $x \neq a$, то есть $-2 \neq a$.

Следовательно, получаем два случая:

1. При $a=-2$, корень числителя $x=-2$ не удовлетворяет условию $x \neq -2$. В этом случае уравнение не имеет решений.

2. При $a \neq -2$, корень $x=-2$ удовлетворяет условию $x \neq a$. В этом случае уравнение имеет единственный корень $x=-2$.

Ответ: если $a=-2$, то корней нет; если $a \neq -2$, то $x=-2$.

3) Рассматриваем уравнение $\frac{a(x-1)}{x-1} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} a(x-1) = 0, \\ x - 1 \neq 0. \end{cases}$

Второе условие означает, что $x \neq 1$.

Рассмотрим первое уравнение $a(x-1) = 0$ в зависимости от параметра $a$:

1. Если $a = 0$, то уравнение $0 \cdot (x-1) = 0$ становится верным равенством $0=0$ для любого значения $x$. С учетом условия $x \neq 1$, решением будут все действительные числа, кроме 1, то есть $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Если $a \neq 0$, то из уравнения $a(x-1)=0$ следует, что $x-1=0$, откуда $x=1$. Но это значение противоречит условию $x \neq 1$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Ответ: если $a=0$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$; если $a \neq 0$, то корней нет.

4) Рассматриваем уравнение $\frac{a(x-a)}{x-3} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} a(x-a) = 0, \\ x - 3 \neq 0. \end{cases}$

Условие $x-3 \neq 0$ означает, что $x \neq 3$.

Рассмотрим первое уравнение $a(x-a) = 0$ в зависимости от параметра $a$:

1. Если $a = 0$, то уравнение $0 \cdot (x-0) = 0$ становится верным равенством $0=0$ для любого $x$. С учетом условия $x \neq 3$, решением будут все действительные числа, кроме 3, то есть $x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Если $a \neq 0$, то из уравнения $a(x-a)=0$ следует, что $x-a=0$, откуда $x=a$. Этот корень является решением, если он удовлетворяет условию $x \neq 3$, то есть $a \neq 3$.

а) Если $a \neq 0$ и $a \neq 3$, то уравнение имеет единственный корень $x=a$.

б) Если $a=3$, то корень числителя $x=3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$. В этом случае решений нет.

Ответ: если $a=0$, то $x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$; если $a=3$, то корней нет; если $a \neq 0$ и $a \neq 3$, то $x=a$.

5) Рассматриваем уравнение $\frac{x-2a}{x+a} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 2a = 0, \\ x + a \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x=2a$.

Для того чтобы $x=2a$ было корнем, необходимо, чтобы выполнялось условие $x \neq -a$, то есть $2a \neq -a$, что равносильно $3a \neq 0$, или $a \neq 0$.

Следовательно, получаем два случая:

1. При $a = 0$, условие $a \neq 0$ не выполняется. Уравнение принимает вид $\frac{x}{x}=0$. Корень числителя $x=0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$. В этом случае решений нет.

2. При $a \neq 0$, корень $x=2a$ удовлетворяет условию $x \neq -a$. В этом случае уравнение имеет единственный корень $x=2a$.

Ответ: если $a=0$, то корней нет; если $a \neq 0$, то $x=2a$.

6) Рассматриваем уравнение $\frac{a(x-4)}{x-a} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} a(x-4) = 0, \\ x - a \neq 0. \end{cases}$

Условие $x-a \neq 0$ означает, что $x \neq a$.

Рассмотрим первое уравнение $a(x-4) = 0$ в зависимости от параметра $a$:

1. Если $a = 0$, то уравнение $0 \cdot (x-4) = 0$ становится верным равенством $0=0$ для любого $x$. Условие $x \neq a$ превращается в $x \neq 0$. Таким образом, решением будут все действительные числа, кроме 0, то есть $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Если $a \neq 0$, то из уравнения $a(x-4)=0$ следует, что $x-4=0$, откуда $x=4$. Этот корень является решением, если он удовлетворяет условию $x \neq a$, то есть $4 \neq a$.

а) Если $a \neq 0$ и $a \neq 4$, то уравнение имеет единственный корень $x=4$.

б) Если $a=4$, то корень числителя $x=4$ не удовлетворяет условию $x \neq a=4$. В этом случае решений нет.

Ответ: если $a=0$, то $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$; если $a=4$, то корней нет; если $a \neq 0$ и $a \neq 4$, то $x=4$.