Номер 6.15, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.15, страница 52.

Условие.

6.15. Два экскаватора выкопали котлован за 8 ч. Первый экскаватор может выкопать такой котлован в 4 раза быстрее, чем второй. За сколько часов может выкопать такой котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?

Решение.

Обозначим всю работу по выкапыванию котлована за 1.

Пусть $t_1$ — время (в часах), за которое первый экскаватор выкопает котлован, работая самостоятельно, а $t_2$ — время, за которое это сделает второй экскаватор.

Тогда производительность (скорость работы) первого экскаватора равна $P_1 = 1/t_1$ (часть котлована в час), а производительность второго — $P_2 = 1/t_2$.

Из условия задачи известно, что первый экскаватор может выкопать котлован в 4 раза быстрее, чем второй. Это означает, что времени на выполнение всей работы ему требуется в 4 раза меньше. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$t_1 = \frac{t_2}{4}$, откуда $t_2 = 4t_1$.

Когда два экскаватора работают вместе, их производительности складываются. Общая производительность $P_{общ} = P_1 + P_2$.

По условию, работая вместе, они выкапывают котлован за 8 часов. Следовательно, их общая производительность составляет:

$P_{общ} = \frac{1}{8}$ (часть котлована в час).

Теперь составим уравнение, приравняв сумму индивидуальных производительностей к общей производительности:

$P_1 + P_2 = \frac{1}{8}$

Подставим выражения для $P_1$ и $P_2$ через $t_1$ и $t_2$:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8}$

Используем ранее найденное соотношение $t_2 = 4t_1$ и подставим его в уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{4t_1} = \frac{1}{8}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $4t_1$:

$\frac{4}{4t_1} + \frac{1}{4t_1} = \frac{1}{8}$

$\frac{5}{4t_1} = \frac{1}{8}$

Решим полученное уравнение. Используем основное свойство пропорции:

$4t_1 \cdot 1 = 5 \cdot 8$

$4t_1 = 40$

$t_1 = \frac{40}{4}$

$t_1 = 10$

Таким образом, первому экскаватору для выполнения всей работы потребуется 10 часов.

Теперь найдем время для второго экскаватора:

$t_2 = 4t_1 = 4 \cdot 10 = 40$

Второму экскаватору потребуется 40 часов.

Ответ: первый экскаватор может выкопать котлован за 10 часов, а второй экскаватор — за 40 часов.