Номер 6.10, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.10, страница 52.

Условие.

6.10. Решите уравнение:

1) $\frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{1-x} = \frac{x^2+27}{x^2-1}$;

2) $\frac{3x+1}{3x-1} - \frac{3x-1}{3x+1} = \frac{6}{1-9x^2}$;

3) $\frac{4}{x-3} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x-2}$;

4) $\frac{2x^2-2x}{x^2-4} + \frac{6}{x+2} = \frac{x+2}{x-2}$;

5) $\frac{7}{x^2+2x} + \frac{x+1}{x^2-2x} = \frac{x+4}{x^2-4}$;

6) $\frac{x^2-9x+50}{x^2-5x} = \frac{x+1}{x-5} + \frac{x-5}{x}$.

Решение.

1) Исходное уравнение: $\frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{1-x} = \frac{x^2+27}{x^2-1}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю: $x+1 \ne 0 \implies x \ne -1$,
$1-x \ne 0 \implies x \ne 1$,
$x^2-1 = (x-1)(x+1) \ne 0 \implies x \ne 1$ и $x \ne -1$.
ОДЗ: $x \ne \pm 1$.
Преобразуем уравнение, учитывая, что $1-x = -(x-1)$ и $x^2-1 = (x-1)(x+1)$: $\frac{x-2}{x+1} + \frac{5}{x-1} = \frac{x^2+27}{(x-1)(x+1)}$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x+1)$: $(x-2)(x-1) + 5(x+1) = x^2+27$.
Раскроем скобки: $x^2 - x - 2x + 2 + 5x + 5 = x^2+27$.
Приведем подобные слагаемые: $x^2 + 2x + 7 = x^2+27$.
$2x = 27 - 7$.
$2x = 20$.
$x = 10$.
Найденный корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 10.

2) Исходное уравнение: $\frac{3x+1}{3x-1} - \frac{3x-1}{3x+1} = \frac{6}{1-9x^2}$.
ОДЗ: $3x-1 \ne 0 \implies x \ne \frac{1}{3}$, $3x+1 \ne 0 \implies x \ne -\frac{1}{3}$, $1-9x^2 \ne 0 \implies x \ne \pm\frac{1}{3}$.
Преобразуем правую часть: $1-9x^2 = -(9x^2-1) = -(3x-1)(3x+1)$. $\frac{3x+1}{3x-1} - \frac{3x-1}{3x+1} = -\frac{6}{(3x-1)(3x+1)}$.
Умножим обе части на общий знаменатель $(3x-1)(3x+1)$: $(3x+1)^2 - (3x-1)^2 = -6$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $((3x+1)-(3x-1))((3x+1)+(3x-1)) = -6$.
$(3x+1-3x+1)(3x+1+3x-1) = -6$.
$(2)(6x) = -6$.
$12x = -6$.
$x = -\frac{6}{12} = -0.5$.
Корень $x=-0.5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -0,5.

3) Исходное уравнение: $\frac{4}{x-3} + \frac{1}{x} = \frac{5}{x-2}$.
ОДЗ: $x \ne 3$, $x \ne 0$, $x \ne 2$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-3)(x-2)$: $\frac{4x(x-2)}{x(x-3)(x-2)} + \frac{(x-3)(x-2)}{x(x-3)(x-2)} = \frac{5x(x-3)}{x(x-3)(x-2)}$.
Умножим обе части на общий знаменатель, при условии что он не равен нулю: $4x(x-2) + (x-3)(x-2) = 5x(x-3)$.
Раскроем скобки: $4x^2 - 8x + x^2 - 2x - 3x + 6 = 5x^2 - 15x$.
Приведем подобные слагаемые: $5x^2 - 13x + 6 = 5x^2 - 15x$.
$-13x + 6 = -15x$.
$15x - 13x = -6$.
$2x = -6$.
$x = -3$.
Корень $x=-3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -3.

4) Исходное уравнение: $\frac{2x^2-2x}{x^2-4} + \frac{6}{x+2} = \frac{x+2}{x-2}$.
ОДЗ: $x^2-4 \ne 0 \implies (x-2)(x+2) \ne 0 \implies x \ne \pm 2$.
Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители: $\frac{2x(x-1)}{(x-2)(x+2)} + \frac{6}{x+2} = \frac{x+2}{x-2}$.
Умножим обе части на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$: $2x(x-1) + 6(x-2) = (x+2)(x+2)$.
Раскроем скобки: $2x^2 - 2x + 6x - 12 = x^2 + 4x + 4$.
Приведем подобные слагаемые: $2x^2 + 4x - 12 = x^2 + 4x + 4$.
Перенесем все члены в левую часть: $2x^2 - x^2 + 4x - 4x - 12 - 4 = 0$.
$x^2 - 16 = 0$.
$x^2 = 16$.
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: -4; 4.

5) Исходное уравнение: $\frac{7}{x^2+2x} + \frac{x+1}{x^2-2x} = \frac{x+4}{x^2-4}$.
Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ: $\frac{7}{x(x+2)} + \frac{x+1}{x(x-2)} = \frac{x+4}{(x-2)(x+2)}$.
ОДЗ: $x \ne 0$, $x \ne -2$, $x \ne 2$.
Общий знаменатель $x(x-2)(x+2)$. Умножим на него обе части уравнения: $7(x-2) + (x+1)(x+2) = x(x+4)$.
Раскроем скобки: $7x - 14 + x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 4x$.
Приведем подобные слагаемые: $x^2 + 10x - 12 = x^2 + 4x$.
$10x - 12 = 4x$.
$10x - 4x = 12$.
$6x = 12$.
$x = 2$.
Найденное значение $x=2$ не входит в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

6) Исходное уравнение: $\frac{x^2-9x+50}{x^2-5x} = \frac{x+1}{x-5} + \frac{x-5}{x}$.
Разложим знаменатель первой дроби на множители и найдем ОДЗ: $\frac{x^2-9x+50}{x(x-5)} = \frac{x+1}{x-5} + \frac{x-5}{x}$.
ОДЗ: $x \ne 0$, $x \ne 5$.
Общий знаменатель $x(x-5)$. Умножим на него обе части уравнения: $x^2-9x+50 = x(x+1) + (x-5)(x-5)$.
Раскроем скобки: $x^2-9x+50 = x^2 + x + (x^2 - 10x + 25)$.
Приведем подобные слагаемые в правой части: $x^2-9x+50 = 2x^2 - 9x + 25$.
Перенесем все члены в правую часть: $0 = 2x^2 - x^2 - 9x + 9x + 25 - 50$.
$0 = x^2 - 25$.
$x^2 = 25$.
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x=5$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x=-5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -5.