Номер 6.3, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.3, страница 51.

Условие.

6.3. Обоснуйте равносильность уравнений:

1) $4x - 8 = x + 3$ и $4x - x = 8 + 3;$

2) $x^2 - 1 = 3$ и $x^2 + 5 = 9;$

3) $\frac{3x - 5}{2} - \frac{x}{6} = 1$ и $9x - 15 - x = 6;$

4) $(2x + 1)(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1)$ и $2x + 1 = 3.$

Решение.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот.

1) $4x - 8 = x + 3$ и $4x - x = 8 + 3$

Второе уравнение можно получить из первого, если перенести слагаемое $x$ из правой части в левую, а слагаемое $-8$ из левой части в правую, изменив их знаки на противоположные. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком является равносильным преобразованием.

Решим второе уравнение для проверки:
$4x - x = 8 + 3$
$3x = 11$
$x = \frac{11}{3}$

Оба уравнения имеют один и тот же корень, следовательно, они равносильны.

Ответ: Уравнения равносильны, так как второе уравнение получено из первого с помощью равносильного преобразования (перенос слагаемых).

2) $x^2 - 1 = 3$ и $x^2 + 5 = 9$

Выполним равносильные преобразования для каждого уравнения.
Для первого уравнения $x^2 - 1 = 3$, перенесем $-1$ в правую часть: $x^2 = 3 + 1$, что дает $x^2 = 4$.
Для второго уравнения $x^2 + 5 = 9$, перенесем $5$ в правую часть: $x^2 = 9 - 5$, что также дает $x^2 = 4$.

Так как оба уравнения приводятся к одному и тому же уравнению $x^2 = 4$, они равносильны. Множество корней для обоих уравнений — $\{-2; 2\}$.

Ответ: Уравнения равносильны, так как оба они сводятся к уравнению $x^2 = 4$.

3) $\frac{3x - 5}{2} - \frac{x}{6} = 1$ и $9x - 15 - x = 6$

Умножим обе части первого уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, который равен 6. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число является равносильным преобразованием.

$6 \cdot \left( \frac{3x - 5}{2} - \frac{x}{6} \right) = 6 \cdot 1$
$6 \cdot \frac{3x - 5}{2} - 6 \cdot \frac{x}{6} = 6$
$3(3x - 5) - x = 6$
$9x - 15 - x = 6$

В результате равносильного преобразования мы получили второе уравнение. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: Уравнения равносильны, так как второе уравнение получается из первого умножением на 6.

4) $(2x + 1)(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1)$ и $2x + 1 = 3$

Заметим, что выражение $x^2 + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, $x^2 + 1 \ne 0$.

Мы можем разделить обе части первого уравнения на выражение $x^2 + 1$, так как оно не равно нулю. Деление обеих частей уравнения на ненулевое число или выражение является равносильным преобразованием.

$\frac{(2x + 1)(x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{3(x^2 + 1)}{x^2 + 1}$

После сокращения получаем второе уравнение: $2x + 1 = 3$.

Так как второе уравнение получено из первого путем равносильного преобразования, уравнения равносильны.

Ответ: Уравнения равносильны, так как второе уравнение получается из первого делением на выражение $x^2+1$, которое не равно нулю.