Номер 6.1, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.1, страница 50.

Условие.

6.1. Равносильны ли уравнения:

1) $x + 2 = 10$ и $3x = 24;$

2) $x - 5 = 0$ и $x (x - 5) = 0;$

3) $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4;$

4) $x + 1 = 1 + x$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1;$

5) $x^3 = 1$ и $|x| = 1;$

6) $\frac{x}{x} = 1$ и $x = x;$

7) $x^2 + 2x + 1 = 0$ и $x + 1 = 0;$

8) $(x + 1)(x^2 + 1) = 0$ и $x + 1 = 0;$

9) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x - 1 = 0;$

10) $\frac{x^2 - 9}{x + 2} = 0$ и $x^2 - 9 = 0?$

Решение.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Если оба уравнения не имеют решений, они также считаются равносильными.

1) $x + 2 = 10$ и $3x = 24$

Решим первое уравнение: $x + 2 = 10 \implies x = 10 - 2 \implies x = 8$. Множество решений: $\{8\}$.

Решим второе уравнение: $3x = 24 \implies x = 24 / 3 \implies x = 8$. Множество решений: $\{8\}$.

Множества решений уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

2) $x - 5 = 0$ и $x(x - 5) = 0$

Решим первое уравнение: $x - 5 = 0 \implies x = 5$. Множество решений: $\{5\}$.

Решим второе уравнение: $x(x - 5) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т.е. $x = 0$ или $x - 5 = 0$. Корни: $x_1 = 0, x_2 = 5$. Множество решений: $\{0, 5\}$.

Множества решений не совпадают, следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.

3) $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$

Первое уравнение $\frac{6}{x} = 0$ не имеет решений, так как дробь равна нулю только если её числитель равен нулю, а в данном случае числитель равен 6. Множество решений: $\emptyset$.

Второе уравнение $x^2 = -4$ не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Множество решений: $\emptyset$.

Множества решений обоих уравнений пусты, то есть совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

4) $x + 1 = 1 + x$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$

Первое уравнение $x + 1 = 1 + x$ является тождеством ($0 = 0$), оно верно для любого действительного числа $x$. Множество решений: $\mathbb{R}$.

Во втором уравнении $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$ знаменатель $x^2 + 1$ никогда не равен нулю. Для любого действительного $x$ уравнение сводится к тождеству $1 = 1$. Множество решений: $\mathbb{R}$.

Множества решений уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

5) $x^3 = 1$ и $|x| = 1$

Решим первое уравнение: $x^3 = 1 \implies x = 1$. Множество решений: $\{1\}$.

Решим второе уравнение: $|x| = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$. Множество решений: $\{-1, 1\}$.

Множества решений не совпадают, следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.

6) $\frac{x}{x} = 1$ и $x = x$

Первое уравнение $\frac{x}{x} = 1$ определено для всех $x$, кроме $x=0$. Для всех $x \neq 0$ оно является верным тождеством. Множество решений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Второе уравнение $x = x$ является тождеством, верным для любого действительного числа $x$. Множество решений: $\mathbb{R}$.

Множества решений не совпадают (во втором уравнении $x=0$ является решением, а в первом — нет), следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.

7) $x^2 + 2x + 1 = 0$ и $x + 1 = 0$

Левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$. Уравнение принимает вид $(x + 1)^2 = 0$, откуда $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Множество решений: $\{-1\}$.

Решение второго уравнения: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Множество решений: $\{-1\}$.

Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

8) $(x + 1)(x^2 + 1) = 0$ и $x + 1 = 0$

Решим первое уравнение: $(x + 1)(x^2 + 1) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. $x + 1 = 0$ или $x^2 + 1 = 0$. Из первого следует $x = -1$. Второе, $x^2 = -1$, не имеет действительных решений. Таким образом, единственное решение — $x = -1$. Множество решений: $\{-1\}$.

Решение второго уравнения: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Множество решений: $\{-1\}$.

Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

9) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x - 1 = 0$

Для первого уравнения дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $x^2 - 1 = 0 \implies (x-1)(x+1) = 0$, откуда $x=1$ или $x=-1$. Условие $x + 1 \neq 0$ означает $x \neq -1$. Таким образом, корень $x=-1$ является посторонним. Единственное решение: $x=1$. Множество решений: $\{1\}$.

Решение второго уравнения: $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Множество решений: $\{1\}$.

Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

10) $\frac{x^2 - 9}{x + 2} = 0$ и $x^2 - 9 = 0$

Для первого уравнения числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — нет. $x^2 - 9 = 0 \implies x = 3$ или $x = -3$. Знаменатель $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Оба корня удовлетворяют этому условию. Множество решений: $\{-3, 3\}$.

Решим второе уравнение: $x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$. Множество решений: $\{-3, 3\}$.

Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.