Номер 6.7, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.7, страница 51.

Условие.

6.7. Составьте пару равносильных уравнений, каждое из которых:

1) имеет один корень;

2) имеет два корня;

3) имеет бесконечно много корней;

4) не имеет корней.

Решение.

1) имеет один корень
Равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Чтобы составить пару равносильных уравнений с одним корнем, можно взять простое линейное уравнение и выполнить над ним равносильное преобразование.
Возьмем уравнение: $2x + 1 = 7$.
Решим его: $2x = 7 - 1$, $2x = 6$, $x = 3$. Уравнение имеет один корень.
Теперь получим второе уравнение, умножив обе части исходного уравнения на любое число, не равное нулю, например, на 3:
$3(2x + 1) = 3 \cdot 7$
$6x + 3 = 21$
Решим второе уравнение: $6x = 21 - 3$, $6x = 18$, $x = 3$. Это уравнение также имеет один корень $x=3$.
Поскольку оба уравнения имеют один и тот же корень, они являются равносильными.
Ответ: $2x + 1 = 7$ и $6x + 3 = 21$.

2) имеет два корня
Чтобы составить пару равносильных уравнений с двумя корнями, можно использовать, например, квадратное уравнение или уравнение с модулем.
Рассмотрим уравнение: $x^2 = 16$.
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{16} = 4$ и $x_2 = -\sqrt{16} = -4$.
Рассмотрим второе уравнение: $|x| = 4$.
По определению модуля, это уравнение также имеет два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Так как множества корней обоих уравнений состоят из одних и тех же чисел $\{4, -4\}$, эти уравнения равносильны.
Ответ: $x^2 = 16$ и $|x| = 4$.

3) имеет бесконечно много корней
Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно является тождеством, то есть верным равенством при любом значении переменной.
Рассмотрим уравнение: $3(x + 2) = 3x + 6$.
Раскрыв скобки в левой части, получим $3x + 6 = 3x + 6$. Это равенство верно для любого значения $x$. Значит, уравнение имеет бесконечно много корней.
В качестве второго уравнения можно взять любое другое тождество, например: $x - x = 0$.
Упростив левую часть, получим $0 = 0$, что также верно для любого значения $x$.
Поскольку решениями обоих уравнений является множество всех действительных чисел, они равносильны.
Ответ: $3(x + 2) = 3x + 6$ и $x - x = 0$.

4) не имеет корней
Уравнение не имеет корней, если оно сводится к неверному числовому равенству.
Рассмотрим уравнение: $x = x + 1$.
Вычтем $x$ из обеих частей уравнения: $x - x = 1$, что приводит к неверному равенству $0 = 1$. Следовательно, это уравнение не имеет корней.
В качестве второго уравнения возьмем $|x| = -5$.
Модуль (абсолютная величина) любого действительного числа по определению неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Поэтому равенство $|x| = -5$ не может быть выполнено ни при каком значении $x$. Это уравнение также не имеет корней.
Поскольку оба уравнения не имеют корней (множество их корней пусто), они являются равносильными.
Ответ: $x = x + 1$ и $|x| = -5$.