Номер 6.9, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.9, страница 52.

Условие.

6.9. Решите уравнение:

1) $\frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x + 2} = 2;$

2) $\frac{2}{6x + 1} + \frac{3}{6x - 1} = \frac{30x + 9}{36x^2 - 1};$

3) $\frac{6x + 14}{x^2 - 9} + \frac{7}{x^2 + 3x} = \frac{6}{x - 3};$

4) $\frac{2y^2 + 5}{1 - y^2} + \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{4}{y + 1};$

5) $\frac{2x - 1}{2x + 1} = \frac{2x + 1}{2x - 1} + \frac{4}{1 - 4x^2};$

6) $\frac{7}{(x + 2)(x - 3)} - \frac{4}{(x - 3)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2};$

7) $\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x - 1}{4 - x} = \frac{6x + 64}{x^2 - 16} + 4;$

8) $\frac{2x - 6}{x^2 - 36} - \frac{x - 3}{x^2 - 6x} - \frac{x - 1}{x^2 + 6x} = 0.$

Решение.

1) $\frac{5}{x^2 - 4} + \frac{2x}{x+2} = 2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю.
$x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$.
$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.
Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Приведем уравнение к общему знаменателю $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
$\frac{5}{(x-2)(x+2)} + \frac{2x(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{2(x^2-4)}{x^2-4}$
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ).
$5 + 2x(x-2) = 2(x^2-4)$
Раскроем скобки:
$5 + 2x^2 - 4x = 2x^2 - 8$
Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону, а остальные в другую:
$2x^2 - 2x^2 - 4x = -8 - 5$
$-4x = -13$
$x = \frac{-13}{-4} = \frac{13}{4} = 3.25$
Найденный корень $x=3.25$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Ответ: $3.25$.

2) $\frac{2}{6x+1} + \frac{3}{6x-1} = \frac{30x+9}{36x^2-1}$

Найдем ОДЗ:
$6x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{6}$
$6x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{6}$
$36x^2-1 = (6x-1)(6x+1) \neq 0$, что дает те же ограничения.
ОДЗ: $x \neq \pm \frac{1}{6}$.

Общий знаменатель: $36x^2-1 = (6x-1)(6x+1)$. Умножим уравнение на него:
$2(6x-1) + 3(6x+1) = 30x+9$
Раскроем скобки:
$12x - 2 + 18x + 3 = 30x + 9$
Приведем подобные слагаемые:
$30x + 1 = 30x + 9$
$30x - 30x = 9 - 1$
$0 = 8$
Получили неверное равенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

3) $\frac{6x+14}{x^2-9} + \frac{7}{x^2+3x} = \frac{6}{x-3}$

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:
$x^2-9 = (x-3)(x+3)$
$x^2+3x = x(x+3)$
Знаменатели не равны нулю при $x \neq 3$, $x \neq -3$, $x \neq 0$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 0, 3\}$.

Перепишем уравнение:
$\frac{6x+14}{(x-3)(x+3)} + \frac{7}{x(x+3)} = \frac{6}{x-3}$
Общий знаменатель: $x(x-3)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:
$x(6x+14) + 7(x-3) = 6x(x+3)$
Раскроем скобки:
$6x^2 + 14x + 7x - 21 = 6x^2 + 18x$
$6x^2 + 21x - 21 = 6x^2 + 18x$
Вычтем $6x^2$ из обеих частей:
$21x - 21 = 18x$
$21x - 18x = 21$
$3x = 21$
$x = 7$
Корень $x=7$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $7$.

4) $\frac{2y^2+5}{1-y^2} + \frac{y+1}{y-1} = \frac{4}{y+1}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели $1-y^2=(1-y)(1+y)$, $y-1$, $y+1$ не равны нулю.
$y \neq 1$ и $y \neq -1$.
ОДЗ: $y \neq \pm 1$.

Преобразуем первый член: $\frac{2y^2+5}{1-y^2} = \frac{2y^2+5}{-(y^2-1)} = -\frac{2y^2+5}{(y-1)(y+1)}$.
$-\frac{2y^2+5}{(y-1)(y+1)} + \frac{y+1}{y-1} = \frac{4}{y+1}$
Общий знаменатель: $(y-1)(y+1)$. Умножим уравнение на него:
$-(2y^2+5) + (y+1)(y+1) = 4(y-1)$
$-2y^2 - 5 + (y+1)^2 = 4y - 4$
$-2y^2 - 5 + y^2 + 2y + 1 = 4y - 4$
$-y^2 + 2y - 4 = 4y - 4$
$-y^2 + 2y - 4y - 4 + 4 = 0$
$-y^2 - 2y = 0$
$y^2 + 2y = 0$
$y(y+2) = 0$
Получаем два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = -2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-2; 0$.

5) $\frac{2x-1}{2x+1} = \frac{2x+1}{2x-1} + \frac{4}{1-4x^2}$

Найдем ОДЗ:
$2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{2}$
$2x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$
$1-4x^2 = (1-2x)(1+2x) \neq 0$.
ОДЗ: $x \neq \pm \frac{1}{2}$.

Преобразуем последний член: $\frac{4}{1-4x^2} = \frac{4}{-(4x^2-1)} = -\frac{4}{(2x-1)(2x+1)}$.
$\frac{2x-1}{2x+1} = \frac{2x+1}{2x-1} - \frac{4}{(2x-1)(2x+1)}$
Общий знаменатель $(2x+1)(2x-1)$. Умножим на него:
$(2x-1)(2x-1) = (2x+1)(2x+1) - 4$
$(2x-1)^2 = (2x+1)^2 - 4$
$4x^2 - 4x + 1 = 4x^2 + 4x + 1 - 4$
$4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 - 4x - 1 = -4$
$-8x = -4$
$x = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$
Полученный корень $x = \frac{1}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, решений нет.

Ответ: корней нет.

6) $\frac{7}{(x+2)(x-3)} - \frac{4}{(x-3)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}$

Найдем ОДЗ:
$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$
$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}$.

Общий знаменатель: $(x+2)^2(x-3)^2$. Умножим уравнение на него:
$7(x+2)(x-3) - 4(x+2)^2 = 3(x-3)^2$
Раскроем скобки:
$7(x^2 - x - 6) - 4(x^2 + 4x + 4) = 3(x^2 - 6x + 9)$
$7x^2 - 7x - 42 - 4x^2 - 16x - 16 = 3x^2 - 18x + 27$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3x^2 - 23x - 58 = 3x^2 - 18x + 27$
Вычтем $3x^2$ из обеих частей:
$-23x - 58 = -18x + 27$
$-58 - 27 = -18x + 23x$
$-85 = 5x$
$x = \frac{-85}{5} = -17$
Корень $x=-17$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-17$.

7) $\frac{2x-1}{x+4} - \frac{3x-1}{4-x} = \frac{6x+64}{x^2-16} + 4$

Найдем ОДЗ. Знаменатели $x+4$, $4-x$, $x^2-16=(x-4)(x+4)$ не должны быть равны нулю.
$x \neq -4$ и $x \neq 4$.
ОДЗ: $x \neq \pm 4$.

Преобразуем второй член: $\frac{3x-1}{4-x} = \frac{3x-1}{-(x-4)} = -\frac{3x-1}{x-4}$.
Уравнение примет вид:
$\frac{2x-1}{x+4} + \frac{3x-1}{x-4} = \frac{6x+64}{(x-4)(x+4)} + 4$
Общий знаменатель: $(x-4)(x+4)$. Умножим на него:
$(2x-1)(x-4) + (3x-1)(x+4) = 6x+64 + 4(x^2-16)$
Раскроем скобки:
$(2x^2 - 8x - x + 4) + (3x^2 + 12x - x - 4) = 6x + 64 + 4x^2 - 64$
$2x^2 - 9x + 4 + 3x^2 + 11x - 4 = 4x^2 + 6x$
$5x^2 + 2x = 4x^2 + 6x$
$5x^2 - 4x^2 + 2x - 6x = 0$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x-4) = 0$
Получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=4$.
Корень $x=4$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0$.

8) $\frac{2x-6}{x^2-36} - \frac{x-3}{x^2-6x} - \frac{x-1}{x^2+6x} = 0$

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:
$x^2-36 = (x-6)(x+6)$
$x^2-6x = x(x-6)$
$x^2+6x = x(x+6)$
Знаменатели не равны нулю при $x \neq 0$, $x \neq 6$, $x \neq -6$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-6, 0, 6\}$.

Перепишем уравнение:
$\frac{2(x-3)}{(x-6)(x+6)} - \frac{x-3}{x(x-6)} - \frac{x-1}{x(x+6)} = 0$
Общий знаменатель: $x(x-6)(x+6)$. Умножим на него:
$2x(x-3) - (x+6)(x-3) - (x-6)(x-1) = 0$
Раскроем скобки:
$(2x^2 - 6x) - (x^2 - 3x + 6x - 18) - (x^2 - x - 6x + 6) = 0$
$2x^2 - 6x - (x^2 + 3x - 18) - (x^2 - 7x + 6) = 0$
$2x^2 - 6x - x^2 - 3x + 18 - x^2 + 7x - 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 - x^2 - x^2) + (-6x - 3x + 7x) + (18 - 6) = 0$
$0 \cdot x^2 - 2x + 12 = 0$
$-2x + 12 = 0$
$-2x = -12$
$x = 6$
Полученный корень $x=6$ не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, решений нет.

Ответ: корней нет.