Номер 6.16, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.16, страница 53.
№6.16 (с. 53)
Условие. №6.16 (с. 53)
скриншот условия
 
                                6.16. Решите уравнение:
1) $\frac{x+5}{x^2-5x} - \frac{x-5}{2x^2+10x} = \frac{x+25}{2x^2-50}$
2) $\frac{2}{x^2-9} - \frac{1}{2x^2-12x+18} = \frac{3}{2x^2+6x}$
3) $\frac{9x+12}{x^3-64} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x^2+4x+16}$
Решение. №6.16 (с. 53)
1) $\frac{x+5}{x^2-5x} - \frac{x-5}{2x^2+10x} = \frac{x+25}{2x^2-50}$
Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) и общий знаменатель.
$x^2-5x = x(x-5)$
$2x^2+10x = 2x(x+5)$
$2x^2-50 = 2(x^2-25) = 2(x-5)(x+5)$
ОДЗ: знаменатели не могут быть равны нулю, следовательно:
$x \neq 0$; $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$; $x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 5$, $x \neq -5$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $2x(x-5)(x+5)$.
Приведем все дроби к общему знаменателю и решим уравнение:
$\frac{2(x+5)(x+5)}{2x(x-5)(x+5)} - \frac{(x-5)(x-5)}{2x(x-5)(x+5)} = \frac{x(x+25)}{2x(x-5)(x+5)}$
Умножим обе части уравнения на НОЗ, учитывая ОДЗ:
$2(x+5)^2 - (x-5)^2 = x(x+25)$
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:
$2(x^2+10x+25) - (x^2-10x+25) = x^2+25x$
$2x^2+20x+50 - x^2+10x-25 = x^2+25x$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2+30x+25 = x^2+25x$
$30x-25x = -25$
$5x = -25$
$x = -5$
Проверим, удовлетворяет ли полученный корень ОДЗ. Согласно ОДЗ, $x \neq -5$. Следовательно, корень $x=-5$ является посторонним и не является решением уравнения.
Ответ: корней нет.
2) $\frac{2}{x^2-9} - \frac{1}{2x^2-12x+18} = \frac{3}{2x^2+6x}$
Разложим знаменатели на множители:
$x^2-9 = (x-3)(x+3)$
$2x^2-12x+18 = 2(x^2-6x+9) = 2(x-3)^2$
$2x^2+6x = 2x(x+3)$
Найдем ОДЗ. Знаменатели не равны нулю:
$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$; $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$; $2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq -3$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ): $2x(x-3)^2(x+3)$.
Умножим обе части уравнения на НОЗ:
$2 \cdot 2x(x-3) - 1 \cdot x(x+3) = 3 \cdot (x-3)^2$
Раскроем скобки:
$4x(x-3) - x(x+3) = 3(x^2-6x+9)$
$4x^2 - 12x - x^2 - 3x = 3x^2 - 18x + 27$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 15x = 3x^2 - 18x + 27$
Упростим уравнение:
$-15x = -18x + 27$
$18x - 15x = 27$
$3x = 27$
$x = 9$
Проверим корень на соответствие ОДЗ. $x=9$ не совпадает ни с одним из исключенных значений ($0, 3, -3$), значит, является решением уравнения.
Ответ: 9.
3) $\frac{9x+12}{x^3-64} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x^2+4x+16}$
Разложим знаменатель $x^3-64$ на множители по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^3-64 = x^3-4^3 = (x-4)(x^2+4x+16)$
Найдем ОДЗ. Знаменатель не равен нулю:
$x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.
Выражение $x^2+4x+16$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$, и ветви параболы направлены вверх.
ОДЗ: $x \neq 4$.
Перепишем уравнение с разложенным знаменателем:
$\frac{9x+12}{(x-4)(x^2+4x+16)} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x^2+4x+16}$
Общий знаменатель: $(x-4)(x^2+4x+16)$. Умножим обе части уравнения на него:
$(9x+12) - 1(x^2+4x+16) = 1(x-4)$
Раскроем скобки:
$9x+12-x^2-4x-16 = x-4$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2+5x-4 = x-4$
Перенесем все члены в одну сторону:
$-x^2+5x-x-4+4 = 0$
$-x^2+4x = 0$
$x^2-4x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x-4) = 0$
Получаем два возможных корня: $x_1=0$ или $x_2=4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 4$).
$x_1=0$ - удовлетворяет ОДЗ.
$x_2=4$ - не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним корнем.
Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: 0.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 6.16 расположенного на странице 53 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.16 (с. 53), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    