Номер 6.16, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.16, страница 53.

Условие.

6.16. Решите уравнение:

1) $\frac{x+5}{x^2-5x} - \frac{x-5}{2x^2+10x} = \frac{x+25}{2x^2-50}$

2) $\frac{2}{x^2-9} - \frac{1}{2x^2-12x+18} = \frac{3}{2x^2+6x}$

3) $\frac{9x+12}{x^3-64} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x^2+4x+16}$

Решение.

1) $\frac{x+5}{x^2-5x} - \frac{x-5}{2x^2+10x} = \frac{x+25}{2x^2-50}$

Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) и общий знаменатель.

$x^2-5x = x(x-5)$

$2x^2+10x = 2x(x+5)$

$2x^2-50 = 2(x^2-25) = 2(x-5)(x+5)$

ОДЗ: знаменатели не могут быть равны нулю, следовательно:

$x \neq 0$; $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$; $x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 5$, $x \neq -5$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $2x(x-5)(x+5)$.

Приведем все дроби к общему знаменателю и решим уравнение:

$\frac{2(x+5)(x+5)}{2x(x-5)(x+5)} - \frac{(x-5)(x-5)}{2x(x-5)(x+5)} = \frac{x(x+25)}{2x(x-5)(x+5)}$

Умножим обе части уравнения на НОЗ, учитывая ОДЗ:

$2(x+5)^2 - (x-5)^2 = x(x+25)$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$2(x^2+10x+25) - (x^2-10x+25) = x^2+25x$

$2x^2+20x+50 - x^2+10x-25 = x^2+25x$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2+30x+25 = x^2+25x$

$30x-25x = -25$

$5x = -25$

$x = -5$

Проверим, удовлетворяет ли полученный корень ОДЗ. Согласно ОДЗ, $x \neq -5$. Следовательно, корень $x=-5$ является посторонним и не является решением уравнения.

Ответ: корней нет.

2) $\frac{2}{x^2-9} - \frac{1}{2x^2-12x+18} = \frac{3}{2x^2+6x}$

Разложим знаменатели на множители:

$x^2-9 = (x-3)(x+3)$

$2x^2-12x+18 = 2(x^2-6x+9) = 2(x-3)^2$

$2x^2+6x = 2x(x+3)$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не равны нулю:

$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$; $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$; $2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq -3$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ): $2x(x-3)^2(x+3)$.

Умножим обе части уравнения на НОЗ:

$2 \cdot 2x(x-3) - 1 \cdot x(x+3) = 3 \cdot (x-3)^2$

Раскроем скобки:

$4x(x-3) - x(x+3) = 3(x^2-6x+9)$

$4x^2 - 12x - x^2 - 3x = 3x^2 - 18x + 27$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 15x = 3x^2 - 18x + 27$

Упростим уравнение:

$-15x = -18x + 27$

$18x - 15x = 27$

$3x = 27$

$x = 9$

Проверим корень на соответствие ОДЗ. $x=9$ не совпадает ни с одним из исключенных значений ($0, 3, -3$), значит, является решением уравнения.

Ответ: 9.

3) $\frac{9x+12}{x^3-64} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x^2+4x+16}$

Разложим знаменатель $x^3-64$ на множители по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3-64 = x^3-4^3 = (x-4)(x^2+4x+16)$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не равен нулю:

$x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.

Выражение $x^2+4x+16$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$, и ветви параболы направлены вверх.

ОДЗ: $x \neq 4$.

Перепишем уравнение с разложенным знаменателем:

$\frac{9x+12}{(x-4)(x^2+4x+16)} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x^2+4x+16}$

Общий знаменатель: $(x-4)(x^2+4x+16)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(9x+12) - 1(x^2+4x+16) = 1(x-4)$

Раскроем скобки:

$9x+12-x^2-4x-16 = x-4$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2+5x-4 = x-4$

Перенесем все члены в одну сторону:

$-x^2+5x-x-4+4 = 0$

$-x^2+4x = 0$

$x^2-4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-4) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1=0$ или $x_2=4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 4$).

$x_1=0$ - удовлетворяет ОДЗ.

$x_2=4$ - не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет один корень.

Ответ: 0.