Номер 6.17, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.17, страница 53.

Условие.

6.17. Решите уравнение:

1) $\frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y}$;

2) $\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2}$.

Решение.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для этого приравняем знаменатели к нулю и исключим полученные значения $y$.

$5y^2 - 45 \neq 0 \Rightarrow 5(y^2 - 9) \neq 0 \Rightarrow 5(y-3)(y+3) \neq 0 \Rightarrow y \neq 3$ и $y \neq -3$.

$5y^2 - 15y \neq 0 \Rightarrow 5y(y-3) \neq 0 \Rightarrow y \neq 0$ и $y \neq 3$.

$y^2 + 3y \neq 0 \Rightarrow y(y+3) \neq 0 \Rightarrow y \neq 0$ и $y \neq -3$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $y \neq -3$, $y \neq 0$, $y \neq 3$.

Теперь разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$ \frac{4(y + 6)}{5(y-3)(y+3)} + \frac{y + 3}{5y(y-3)} = \frac{y - 3}{y(y+3)} $

Общий знаменатель для всех дробей: $5y(y-3)(y+3)$. Умножим обе части уравнения на него, учитывая ОДЗ:

$ \frac{4(y + 6) \cdot 5y(y-3)(y+3)}{5(y-3)(y+3)} + \frac{(y + 3) \cdot 5y(y-3)(y+3)}{5y(y-3)} = \frac{(y - 3) \cdot 5y(y-3)(y+3)}{y(y+3)} $

После сокращения множителей в каждой дроби получаем:

$ 4(y+6) \cdot y + (y+3) \cdot (y+3) = (y-3) \cdot 5(y-3) $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 4y^2 + 24y + y^2 + 6y + 9 = 5(y^2 - 6y + 9) $

$ 5y^2 + 30y + 9 = 5y^2 - 30y + 45 $

Перенесем члены с переменной в одну сторону, а постоянные — в другую:

$ 5y^2 - 5y^2 + 30y + 30y = 45 - 9 $

$ 60y = 36 $

$ y = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0,6 $

Полученное значение $y = 0,6$ входит в ОДЗ, следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $0,6$

2)

Исходное уравнение: $ \frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2} $.

Разложим знаменатели на множители. Для знаменателя первой дроби используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$8y^3 + 1 = (2y)^3 + 1^3 = (2y+1)(4y^2 - 2y + 1)$

Для остальных знаменателей вынесем общий множитель:

$4y + 2 = 2(2y+1)$

$8y^2 - 4y + 2 = 2(4y^2 - 2y + 1)$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

Из $2(2y+1) \neq 0$ следует, что $y \neq -\frac{1}{2}$.

Выражение $4y^2 - 2y + 1$ всегда больше нуля, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12 < 0$, и ветви параболы направлены вверх.

Таким образом, ОДЗ: $y \neq -\frac{1}{2}$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$ \frac{y + 2}{(2y+1)(4y^2 - 2y + 1)} - \frac{1}{2(2y+1)} = \frac{y + 3}{2(4y^2 - 2y + 1)} $

Общий знаменатель: $2(2y+1)(4y^2 - 2y + 1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$ 2(y+2) - 1(4y^2 - 2y + 1) = (y+3)(2y+1) $

Раскроем скобки:

$ 2y + 4 - 4y^2 + 2y - 1 = 2y^2 + y + 6y + 3 $

Приведем подобные слагаемые:

$ -4y^2 + 4y + 3 = 2y^2 + 7y + 3 $

Перенесем все члены уравнения в правую часть:

$ 0 = 2y^2 + 4y^2 + 7y - 4y + 3 - 3 $

$ 0 = 6y^2 + 3y $

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель за скобки:

$ 3y(2y + 1) = 0 $

Это уравнение имеет два корня:

$3y = 0 \Rightarrow y_1 = 0$

$2y+1 = 0 \Rightarrow y_2 = -\frac{1}{2}$

Сравним корни с ОДЗ ($y \neq -\frac{1}{2}$). Корень $y_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $y_2 = -\frac{1}{2}$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним корнем.

Ответ: $0$