Номер 6.17, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.17, страница 53.
№6.17 (с. 53)
Условие. №6.17 (с. 53)
скриншот условия
 
                                6.17. Решите уравнение:
1) $\frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y}$;
2) $\frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2}$.
Решение. №6.17 (с. 53)
1)
Исходное уравнение: $ \frac{4y + 24}{5y^2 - 45} + \frac{y + 3}{5y^2 - 15y} = \frac{y - 3}{y^2 + 3y} $.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для этого приравняем знаменатели к нулю и исключим полученные значения $y$.
$5y^2 - 45 \neq 0 \Rightarrow 5(y^2 - 9) \neq 0 \Rightarrow 5(y-3)(y+3) \neq 0 \Rightarrow y \neq 3$ и $y \neq -3$.
$5y^2 - 15y \neq 0 \Rightarrow 5y(y-3) \neq 0 \Rightarrow y \neq 0$ и $y \neq 3$.
$y^2 + 3y \neq 0 \Rightarrow y(y+3) \neq 0 \Rightarrow y \neq 0$ и $y \neq -3$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $y \neq -3$, $y \neq 0$, $y \neq 3$.
Теперь разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:
$ \frac{4(y + 6)}{5(y-3)(y+3)} + \frac{y + 3}{5y(y-3)} = \frac{y - 3}{y(y+3)} $
Общий знаменатель для всех дробей: $5y(y-3)(y+3)$. Умножим обе части уравнения на него, учитывая ОДЗ:
$ \frac{4(y + 6) \cdot 5y(y-3)(y+3)}{5(y-3)(y+3)} + \frac{(y + 3) \cdot 5y(y-3)(y+3)}{5y(y-3)} = \frac{(y - 3) \cdot 5y(y-3)(y+3)}{y(y+3)} $
После сокращения множителей в каждой дроби получаем:
$ 4(y+6) \cdot y + (y+3) \cdot (y+3) = (y-3) \cdot 5(y-3) $
Раскроем скобки и упростим выражение:
$ 4y^2 + 24y + y^2 + 6y + 9 = 5(y^2 - 6y + 9) $
$ 5y^2 + 30y + 9 = 5y^2 - 30y + 45 $
Перенесем члены с переменной в одну сторону, а постоянные — в другую:
$ 5y^2 - 5y^2 + 30y + 30y = 45 - 9 $
$ 60y = 36 $
$ y = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0,6 $
Полученное значение $y = 0,6$ входит в ОДЗ, следовательно, является корнем уравнения.
Ответ: $0,6$
2)
Исходное уравнение: $ \frac{y + 2}{8y^3 + 1} - \frac{1}{4y + 2} = \frac{y + 3}{8y^2 - 4y + 2} $.
Разложим знаменатели на множители. Для знаменателя первой дроби используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$8y^3 + 1 = (2y)^3 + 1^3 = (2y+1)(4y^2 - 2y + 1)$
Для остальных знаменателей вынесем общий множитель:
$4y + 2 = 2(2y+1)$
$8y^2 - 4y + 2 = 2(4y^2 - 2y + 1)$
Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:
Из $2(2y+1) \neq 0$ следует, что $y \neq -\frac{1}{2}$.
Выражение $4y^2 - 2y + 1$ всегда больше нуля, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12 < 0$, и ветви параболы направлены вверх.
Таким образом, ОДЗ: $y \neq -\frac{1}{2}$.
Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:
$ \frac{y + 2}{(2y+1)(4y^2 - 2y + 1)} - \frac{1}{2(2y+1)} = \frac{y + 3}{2(4y^2 - 2y + 1)} $
Общий знаменатель: $2(2y+1)(4y^2 - 2y + 1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$ 2(y+2) - 1(4y^2 - 2y + 1) = (y+3)(2y+1) $
Раскроем скобки:
$ 2y + 4 - 4y^2 + 2y - 1 = 2y^2 + y + 6y + 3 $
Приведем подобные слагаемые:
$ -4y^2 + 4y + 3 = 2y^2 + 7y + 3 $
Перенесем все члены уравнения в правую часть:
$ 0 = 2y^2 + 4y^2 + 7y - 4y + 3 - 3 $
$ 0 = 6y^2 + 3y $
Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель за скобки:
$ 3y(2y + 1) = 0 $
Это уравнение имеет два корня:
$3y = 0 \Rightarrow y_1 = 0$
$2y+1 = 0 \Rightarrow y_2 = -\frac{1}{2}$
Сравним корни с ОДЗ ($y \neq -\frac{1}{2}$). Корень $y_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $y_2 = -\frac{1}{2}$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним корнем.
Ответ: $0$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 6.17 расположенного на странице 53 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.17 (с. 53), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    