Номер 6.19, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.19, страница 53.

Условие.

6.19. Докажите, что при любом значении переменной данное выражение принимает неотрицательное значение:

1) $(a-5)^2 - 2(a-5) + 1$

2) $(a-b)(a-b-8)+16$

Решение.

1)

Чтобы доказать, что выражение $(a - 5)^2 - 2(a - 5) + 1$ принимает неотрицательное значение при любом значении переменной a, мы можем преобразовать его, заметив структуру полного квадрата.

Пусть $x = a - 5$. Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

$x^2 - 2x + 1$

Это выражение является формулой квадрата разности: $(c - d)^2 = c^2 - 2cd + d^2$. В нашем случае $c = x$ и $d = 1$. Таким образом, выражение сворачивается в:

$(x - 1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив $a - 5$ вместо $x$:

$((a - 5) - 1)^2 = (a - 6)^2$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть $(a - 6)^2 \geq 0$ для любого значения a. Следовательно, исходное выражение всегда принимает неотрицательное значение.

Ответ: Доказано, так как выражение тождественно равно $(a - 6)^2$, а квадрат любого числа всегда больше или равен нулю.

2)

Рассмотрим выражение $(a - b)(a - b - 8) + 16$. Чтобы доказать, что оно неотрицательно при любых значениях переменных a и b, преобразуем его.

Сделаем замену: пусть $y = a - b$. Тогда выражение примет вид:

$y(y - 8) + 16$

Раскроем скобки:

$y^2 - 8y + 16$

Это выражение, как и в предыдущем пункте, является полным квадратом разности. По формуле $(c - d)^2 = c^2 - 2cd + d^2$, где $c = y$ и $d = 4$, получаем:

$(y - 4)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив $a - b$ вместо $y$:

$( (a - b) - 4)^2 = (a - b - 4)^2$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(a - b - 4)^2 \geq 0$ для любых значений a и b. Это доказывает, что исходное выражение всегда принимает неотрицательное значение.

Ответ: Доказано, так как выражение тождественно равно $(a - b - 4)^2$, а квадрат любого числа всегда больше или равен нулю.