Номер 7.5, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.5, страница 57.

Условие.

7.5. Для каждого значения параметра a решите уравнение:

1) $\frac{x-2}{x-a} = a-1;$

2) $\frac{ax-2}{x-1} = a + \frac{1}{x};$

3) $\frac{ax^2-3}{x^2-1} = a + \frac{2}{x-1};$

4) $\frac{3x+1}{(x-1)(x+a)} + \frac{1}{x+a} = \frac{3}{x-1};$

5) $\frac{a}{x+3} + \frac{3}{x+2} = \frac{a^2+2a}{(x+2)(x+3)};$

6) $\frac{a^2-1}{x-2} - \frac{a^3-x+10}{(x+a)(x-2)} = \frac{4}{x+a}.$

Решение.

1) Исходное уравнение: $ \frac{x-2}{x-a} = a-1 $.
Область допустимых значений (ОДЗ): $ x - a \ne 0 \implies x \ne a $.
При условии $ x \ne a $ умножим обе части на $ x-a $:
$ x - 2 = (a-1)(x-a) $
$ x - 2 = ax - a^2 - x + a $
$ x + x - ax = a^2 - a + 2 $
$ x(2-a) = a^2 - a + 2 $
Рассмотрим два случая:
Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $ 2-a \ne 0 \implies a \ne 2 $.
В этом случае можно разделить обе части на $ (2-a) $:
$ x = \frac{a^2-a+2}{2-a} $.
Необходимо проверить, не нарушает ли этот корень ОДЗ, т.е. не равен ли он $a$.
Проверим, при каких $a$ выполняется равенство $ \frac{a^2-a+2}{2-a} = a $.
$ a^2-a+2 = a(2-a) $
$ a^2-a+2 = 2a - a^2 $
$ 2a^2 - 3a + 2 = 0 $
Дискриминант этого квадратного уравнения относительно $a$: $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7 $.
Так как $ D < 0 $, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что найденное решение $x$ никогда не равно $a$.
Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $ 2-a = 0 \implies a = 2 $.
Уравнение принимает вид: $ 0 \cdot x = 2^2 - 2 + 2 \implies 0 \cdot x = 4 $.
Это уравнение не имеет решений.
Ответ: если $ a=2 $, то решений нет; если $ a \ne 2 $, то $ x = \frac{a^2-a+2}{2-a} $.

2) Исходное уравнение: $ \frac{ax-2}{x-1} = a + \frac{1}{x} $.
ОДЗ: $ x-1 \ne 0 $ и $ x \ne 0 $, то есть $ x \ne 1 $ и $ x \ne 0 $.
Приведем правую часть к общему знаменателю: $ \frac{ax-2}{x-1} = \frac{ax+1}{x} $.
Используя основное свойство пропорции (при $x \ne 1, x \ne 0$):
$ x(ax-2) = (x-1)(ax+1) $
$ ax^2 - 2x = ax^2 + x - ax - 1 $
$ -2x = x - ax - 1 $
$ ax - 3x = -1 $
$ x(a-3) = -1 $
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $ a-3 \ne 0 \implies a \ne 3 $.
Тогда $ x = \frac{-1}{a-3} = \frac{1}{3-a} $.
Проверим, не нарушает ли этот корень ОДЗ.
1. $ x = 0 $: $ \frac{1}{3-a} = 0 $. Это уравнение не имеет решений.
2. $ x = 1 $: $ \frac{1}{3-a} = 1 \implies 1 = 3-a \implies a=2 $.
Следовательно, если $ a=2 $, то найденный корень $ x=1 $ является посторонним, и уравнение не имеет решений.
Случай 2: $ a-3 = 0 \implies a = 3 $.
Уравнение принимает вид: $ 0 \cdot x = -1 $.
Это уравнение не имеет решений.
Ответ: если $ a=2 $ или $ a=3 $, то решений нет; если $ a \ne 2 $ и $ a \ne 3 $, то $ x = \frac{1}{3-a} $.

3) Исходное уравнение: $ \frac{ax^2-3}{x^2-1} = a + \frac{2}{x-1} $.
ОДЗ: $ x^2-1 \ne 0 \implies (x-1)(x+1) \ne 0 \implies x \ne 1 $ и $ x \ne -1 $.
Приведем уравнение к общему знаменателю $ x^2-1 $:
$ \frac{ax^2-3}{x^2-1} = \frac{a(x^2-1)}{x^2-1} + \frac{2(x+1)}{x^2-1} $
$ ax^2-3 = a(x^2-1) + 2(x+1) $
$ ax^2-3 = ax^2 - a + 2x + 2 $
$ -3 = -a + 2x + 2 $
$ 2x = a - 5 $
$ x = \frac{a-5}{2} $
Проверим, не нарушает ли этот корень ОДЗ.
1. $ x=1 $: $ \frac{a-5}{2} = 1 \implies a-5=2 \implies a=7 $. Если $a=7$, то корень посторонний.
2. $ x=-1 $: $ \frac{a-5}{2} = -1 \implies a-5=-2 \implies a=3 $. Если $a=3$, то корень посторонний.
Ответ: если $ a=3 $ или $ a=7 $, то решений нет; если $ a \ne 3 $ и $ a \ne 7 $, то $ x=\frac{a-5}{2} $.

4) Исходное уравнение: $ \frac{3x+1}{(x-1)(x+a)} + \frac{1}{x+a} = \frac{3}{x-1} $.
ОДЗ: $ x-1 \ne 0 \implies x \ne 1 $ и $ x+a \ne 0 \implies x \ne -a $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-1)(x+a) $:
$ (3x+1) + 1 \cdot (x-1) = 3 \cdot (x+a) $
$ 3x+1+x-1 = 3x+3a $
$ 4x = 3x+3a $
$ x = 3a $
Проверим, не нарушает ли этот корень ОДЗ.
1. $ x=1 $: $ 3a=1 \implies a = 1/3 $. Если $a=1/3$, то корень посторонний.
2. $ x=-a $: $ 3a=-a \implies 4a=0 \implies a=0 $. Если $a=0$, то корень посторонний.
Ответ: если $ a=0 $ или $ a=1/3 $, то решений нет; если $ a \ne 0 $ и $ a \ne 1/3 $, то $ x=3a $.

5) Исходное уравнение: $ \frac{a}{x+3} + \frac{3}{x+2} = \frac{a^2+2a}{(x+2)(x+3)} $.
ОДЗ: $ x+3 \ne 0 \implies x \ne -3 $ и $ x+2 \ne 0 \implies x \ne -2 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x+2)(x+3) $:
$ a(x+2) + 3(x+3) = a^2+2a $
$ ax+2a+3x+9 = a^2+2a $
$ x(a+3) = a^2-9 $
$ x(a+3) = (a-3)(a+3) $
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $ a+3 \ne 0 \implies a \ne -3 $.
Тогда можно разделить обе части на $ (a+3) $: $ x = a-3 $.
Проверим, не нарушает ли этот корень ОДЗ.
1. $ x=-3 $: $ a-3 = -3 \implies a=0 $. Если $a=0$, то корень посторонний.
2. $ x=-2 $: $ a-3 = -2 \implies a=1 $. Если $a=1$, то корень посторонний.
Случай 2: $ a+3=0 \implies a=-3 $.
Уравнение принимает вид $ 0 \cdot x = 0 $.
Это равенство верно для любого $x$ из ОДЗ. При $ a=-3 $ ОДЗ: $ x \ne -3 $ и $ x \ne -2 $.
Ответ: если $ a=-3 $, то $ x $ - любое действительное число, кроме $ -3 $ и $ -2 $; если $ a=0 $ или $ a=1 $, то решений нет; если $ a \ne -3 $, $ a \ne 0 $ и $ a \ne 1 $, то $ x = a-3 $.

6) Исходное уравнение: $ \frac{a^2-1}{x-2} - \frac{a^3-x+10}{(x+a)(x-2)} = \frac{4}{x+a} $.
ОДЗ: $ x-2 \ne 0 \implies x \ne 2 $ и $ x+a \ne 0 \implies x \ne -a $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x+a)(x-2) $:
$ (a^2-1)(x+a) - (a^3-x+10) = 4(x-2) $
$ a^2x + a^3 - x - a - a^3 + x - 10 = 4x - 8 $
$ a^2x - a - 10 = 4x - 8 $
$ a^2x - 4x = a + 2 $
$ x(a^2-4) = a+2 $
$ x(a-2)(a+2) = a+2 $
Рассмотрим три случая:
Случай 1: $ a=-2 $.
Уравнение принимает вид $ 0 \cdot x = 0 $.
Решением является любое число из ОДЗ. При $ a=-2 $ ОДЗ: $ x \ne 2 $ и $ x \ne -(-2) \implies x \ne 2 $.
Случай 2: $ a=2 $.
Уравнение принимает вид $ 0 \cdot x = 2+2=4 $. Решений нет.
Случай 3: $ a \ne 2 $ и $ a \ne -2 $.
Тогда можно разделить обе части на $ (a-2)(a+2) $:
$ x = \frac{a+2}{(a-2)(a+2)} = \frac{1}{a-2} $.
Проверим, не нарушает ли этот корень ОДЗ.
1. $ x=2 $: $ \frac{1}{a-2}=2 \implies 1 = 2a-4 \implies 2a=5 \implies a=2.5 $. Если $ a=2.5 $, корень посторонний.
2. $ x=-a $: $ \frac{1}{a-2}=-a \implies 1 = -a^2+2a \implies a^2-2a+1=0 \implies (a-1)^2=0 \implies a=1 $. Если $ a=1 $, корень посторонний.
Ответ: если $ a=-2 $, то $ x $ - любое действительное число, кроме $ 2 $; если $ a=1 $, $ a=2 $ или $ a=2.5 $, то решений нет; если $ a \notin \{-2, 1, 2, 2.5\} $, то $ x=\frac{1}{a-2} $.