Номер 7.7, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.7, страница 57.

Условие.

7.7. При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет единственное решение:

1) $\frac{x - 1}{x - a} = 0;$

2) $\frac{(x + 1)(x - 5)}{x - a} = 0;$

3) $\frac{(x - a)(x + 3a)}{x - 3} = 0;$

4) $\frac{(x - 2)(x - a)}{x - 2a} = 0;$

5) $\frac{(x - 1)(x + 3)}{(x - a)(x + 3a)} = 0;$

6) $\frac{x^2 - a^2}{(x + 1)(x + 2)} = 0? $

Решение.

1) Уравнение $\frac{x-1}{x-a} = 0$ равносильно системе $\begin{cases} x-1=0, \\ x-a \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения находим единственный возможный корень: $x=1$.

Для того чтобы $x=1$ был решением, он должен удовлетворять условию $x-a \neq 0$. Подставляя $x=1$, получаем $1-a \neq 0$, то есть $a \neq 1$.

Таким образом, при $a \neq 1$ уравнение имеет единственное решение $x=1$. Если $a=1$, то корень числителя совпадает с корнем знаменателя, и решений нет. Ответ: $a \neq 1$.

2) Уравнение $\frac{(x+1)(x-5)}{x-a} = 0$ равносильно системе $\begin{cases} (x+1)(x-5)=0, \\ x-a \neq 0. \end{cases}$

Корни числителя: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Уравнение будет иметь единственное решение, если один из этих корней будет являться решением, а второй — нет. Это произойдет, если один из корней совпадет со значением $a$ (и станет посторонним), а другой не совпадет.

1. Корень $x_1 = -1$ является посторонним, а $x_2 = 5$ — решением. Это возможно, если $a = -1$. При этом $x_2=5 \neq a$, так что $x=5$ является единственным решением.

2. Корень $x_2 = 5$ является посторонним, а $x_1 = -1$ — решением. Это возможно, если $a = 5$. При этом $x_1=-1 \neq a$, так что $x=-1$ является единственным решением.

Если $a$ не равно ни $-1$, ни $5$, то уравнение будет иметь два решения. Ответ: $a = -1$ или $a = 5$.

3) Уравнение $\frac{(x-a)(x+3a)}{x-3} = 0$ равносильно системе $\begin{cases} (x-a)(x+3a)=0, \\ x-3 \neq 0. \end{cases}$

Корни числителя: $x_1 = a$ и $x_2 = -3a$. Условие: $x \neq 3$. Уравнение будет иметь единственное решение в двух случаях:

1. Корни числителя совпадают, и этот единственный корень не равен 3. $a = -3a \implies 4a = 0 \implies a = 0$. При $a=0$ корень числителя $x=0$. Так как $0 \neq 3$, это значение $a$ подходит.

2. Корни числителя различны ($a \neq 0$), но один из них равен 3 (и является посторонним), а другой не равен 3.

а) $x_1=a=3$. Тогда второй корень $x_2 = -3a = -3(3) = -9$. Так как $-9 \neq 3$, корень $x=-9$ является единственным решением. Значение $a=3$ подходит.

б) $x_2=-3a=3 \implies a=-1$. Тогда первый корень $x_1 = a = -1$. Так как $-1 \neq 3$, корень $x=-1$ является единственным решением. Значение $a=-1$ подходит. Ответ: $a \in \{-1, 0, 3\}$.

4) Уравнение $\frac{(x-2)(x-a)}{x-2a} = 0$ равносильно системе $\begin{cases} (x-2)(x-a)=0, \\ x-2a \neq 0. \end{cases}$

Корни числителя: $x_1 = 2$ и $x_2 = a$. Условие: $x \neq 2a$. Уравнение будет иметь единственное решение в двух случаях:

1. Корни числителя совпадают, и этот корень удовлетворяет условию. $a = 2$. Корень числителя $x=2$. Проверяем условие: $x \neq 2a \implies 2 \neq 2(2) \implies 2 \neq 4$. Условие выполнено. Значение $a=2$ подходит.

2. Корни числителя различны ($a \neq 2$), но один из них равен $2a$ (и является посторонним), а другой не равен $2a$.

а) $x_1=2$ является посторонним: $2=2a \implies a=1$. При $a=1$ корни числителя $x=2$ и $x=1$. Условие $x \neq 2a=2$. Корень $x=2$ посторонний. Второй корень $x=1$ не равен $2a=2$. Значит, $x=1$ — единственное решение. Значение $a=1$ подходит.

б) $x_2=a$ является посторонним: $a=2a \implies a=0$. При $a=0$ корни числителя $x=2$ и $x=0$. Условие $x \neq 2a=0$. Корень $x=0$ посторонний. Второй корень $x=2$ не равен $2a=0$. Значит, $x=2$ — единственное решение. Значение $a=0$ подходит. Ответ: $a \in \{0, 1, 2\}$.

5) Уравнение $\frac{(x-1)(x+3)}{(x-a)(x+3a)} = 0$ равносильно системе $\begin{cases} (x-1)(x+3)=0, \\ (x-a)(x+3a) \neq 0. \end{cases}$

Корни числителя: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Условия: $x \neq a$ и $x \neq -3a$. Уравнение имеет единственное решение, если один из корней числителя является решением, а другой — посторонним (т.е. обращает знаменатель в ноль).

1. $x=1$ — решение, а $x=-3$ — посторонний корень. Для этого $x=1$ не должен обращать знаменатель в ноль ($1 \neq a$ и $1 \neq -3a$), а $x=-3$ должен ($ -3 = a$ или $-3 = -3a$).

а) Пусть $-3=a$. Тогда условия: $x \neq -3$ и $x \neq -3(-3)=9$. Корень $x_2=-3$ посторонний. Проверяем корень $x_1=1$: $1 \neq -3$ и $1 \neq 9$. Условия выполнены. Значит, при $a=-3$ есть единственное решение $x=1$.

б) Пусть $-3=-3a \implies a=1$. Тогда условия: $x \neq 1$ и $x \neq -3$. В этом случае оба корня числителя, $x_1=1$ и $x_2=-3$, являются посторонними. Решений нет.

2. $x=-3$ — решение, а $x=1$ — посторонний корень. Для этого $x=-3$ не должен обращать знаменатель в ноль ($-3 \neq a$ и $-3 \neq -3a$), а $x=1$ должен ($1 = a$ или $1 = -3a$).

а) Пусть $1=a$. Как мы видели выше, в этом случае решений нет.

б) Пусть $1=-3a \implies a=-1/3$. Тогда условия: $x \neq -1/3$ и $x \neq -3(-1/3)=1$. Корень $x_1=1$ посторонний. Проверяем корень $x_2=-3$: $-3 \neq -1/3$ и $-3 \neq 1$. Условия выполнены. Значит, при $a=-1/3$ есть единственное решение $x=-3$. Ответ: $a = -3$ или $a = -1/3$.

6) Уравнение $\frac{x^2 - a^2}{(x+1)(x+2)} = 0$ равносильно системе $\begin{cases} x^2 - a^2 = 0, \\ (x+1)(x+2) \neq 0. \end{cases}$

Корни числителя: $x^2=a^2 \implies x = a$ и $x = -a$. Условия: $x \neq -1$ и $x \neq -2$. Уравнение будет иметь единственное решение в двух случаях:

1. Корни числителя совпадают, и этот корень не является посторонним. $a = -a \implies 2a = 0 \implies a = 0$. При $a=0$ корень числителя $x=0$. Условия $0 \neq -1$ и $0 \neq -2$ выполнены. Значение $a=0$ подходит.

2. Корни числителя различны ($a \neq 0$), но один из них является посторонним (равен $-1$ или $-2$), а другой — нет.

а) $x=a$ — посторонний корень, а $x=-a$ — решение.
При $a=-1$: $x_1=-1$ (посторонний), $x_2=1$. Проверяем $x_2=1$: $1 \neq -1$ и $1 \neq -2$. Выполнено. $a=-1$ подходит.
При $a=-2$: $x_1=-2$ (посторонний), $x_2=2$. Проверяем $x_2=2$: $2 \neq -1$ и $2 \neq -2$. Выполнено. $a=-2$ подходит.

б) $x=-a$ — посторонний корень, а $x=a$ — решение.
При $-a=-1 \implies a=1$: $x_2=-1$ (посторонний), $x_1=1$. Проверяем $x_1=1$: $1 \neq -1$ и $1 \neq -2$. Выполнено. $a=1$ подходит.
При $-a=-2 \implies a=2$: $x_2=-2$ (посторонний), $x_1=2$. Проверяем $x_1=2$: $2 \neq -1$ и $2 \neq -2$. Выполнено. $a=2$ подходит.

Оба корня ($a$ и $-a$) не могут быть посторонними одновременно, так как множество $\{a, -a\}$ не может быть равно $\{-1, -2\}$. Ответ: $a \in \{0, \pm 1, \pm 2\}$.