Номер 7.3, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.3, страница 57.

Условие.

7.3. Для каждого значения параметра a решите уравнение:

1) $\frac{(x - a)(x - 6)}{x - 7} = 0;$

2) $\frac{(x - 4)(x + 2)}{x - a} = 0;$

3) $\frac{x - a}{(x - 1)(x + 3)} = 0;$

4) $\frac{x^2 - a^2}{x + 4} = 0;$

5) $\frac{x + a}{(x - 3a)(x + 5)} = 0;$

6) $\frac{(x - a)(x - 2)}{x - 2a} = 0.$

Решение.

1)

Решим уравнение $\frac{(x - a)(x - 6)}{x - 7} = 0$.

Уравнение равносильно системе: числитель равен нулю, $(x - a)(x - 6) = 0$, а знаменатель не равен нулю, $x - 7 \neq 0$.

Из первого условия получаем потенциальные корни: $x_1 = a$ и $x_2 = 6$.

Из второго условия получаем ограничение: $x \neq 7$.

Корень $x = 6$ всегда удовлетворяет ограничению $x \neq 7$, поэтому он всегда является решением.

Корень $x = a$ является решением только в том случае, если $a \neq 7$.

Рассмотрим случаи для параметра $a$:

Если $a = 7$, корень $x = a$ становится посторонним. Единственным решением является $x = 6$.

Если $a \neq 7$, корень $x = a$ является решением. Также решением является $x = 6$. В этом случае решениями являются $x = a$ и $x = 6$ (эти корни совпадают при $a=6$).

Ответ: если $a=7$, то $x=6$; если $a \neq 7$, то $x=a$ и $x=6$.

2)

Решим уравнение $\frac{(x - 4)(x + 2)}{x - a} = 0$.

Уравнение равносильно системе: $(x - 4)(x + 2) = 0$ и $x - a \neq 0$.

Потенциальные корни из первого условия: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Ограничение из второго условия: $x \neq a$.

Рассмотрим случаи, когда один из корней совпадает с ограничением:

Если $a = 4$, то корень $x = 4$ является посторонним. Единственным решением будет $x = -2$.

Если $a = -2$, то корень $x = -2$ является посторонним. Единственным решением будет $x = 4$.

Если $a \neq 4$ и $a \neq -2$, то оба корня, $x = 4$ и $x = -2$, удовлетворяют ограничению и являются решениями.

Ответ: если $a=4$, то $x=-2$; если $a=-2$, то $x=4$; если $a \notin \{4, -2\}$, то $x=4$ и $x=-2$.

3)

Решим уравнение $\frac{x - a}{(x - 1)(x + 3)} = 0$.

Уравнение равносильно системе: $x - a = 0$ и $(x - 1)(x + 3) \neq 0$.

Потенциальный корень из первого условия: $x = a$.

Ограничения из второго условия: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

Корень $x = a$ является решением, если он не совпадает с запрещенными значениями $1$ и $-3$.

Рассмотрим случаи для параметра $a$:

Если $a = 1$ или $a = -3$, то корень $x=a$ является посторонним. В этих случаях уравнение не имеет решений.

Если $a \neq 1$ и $a \neq -3$, то решением будет $x = a$.

Ответ: если $a = 1$ или $a = -3$, то корней нет; если $a \notin \{1, -3\}$, то $x=a$.

4)

Решим уравнение $\frac{x^2 - a^2}{x + 4} = 0$.

Уравнение равносильно системе: $x^2 - a^2 = 0$ и $x + 4 \neq 0$.

Разложим числитель на множители: $(x - a)(x + a) = 0$. Потенциальные корни: $x_1 = a$ и $x_2 = -a$.

Ограничение из знаменателя: $x \neq -4$.

Рассмотрим случаи для параметра $a$:

Если $a = 4$, корни числителя $x = 4$ и $x = -4$. Корень $x=-4$ является посторонним. Единственное решение: $x = 4$.

Если $a = -4$, корни числителя $x = -4$ и $x = 4$. Корень $x=-4$ является посторонним. Единственное решение: $x = 4$.

Если $a=0$, то $x^2=0$, корень $x=0$. Так как $0 \neq -4$, решение: $x=0$.

Если $a \notin \{0, 4, -4\}$, то корни $x=a$ и $x=-a$ различны, и ни один из них не равен $-4$. Оба являются решениями.

Ответ: если $a=4$ или $a=-4$, то $x=4$; если $a=0$, то $x=0$; если $a \notin \{0, 4, -4\}$, то $x=a$ и $x=-a$.

5)

Решим уравнение $\frac{x + a}{(x - 3a)(x + 5)} = 0$.

Уравнение равносильно системе: $x + a = 0$ и $(x - 3a)(x + 5) \neq 0$.

Потенциальный корень: $x = -a$.

Ограничения: $x \neq 3a$ и $x \neq -5$.

Корень $x=-a$ является посторонним, если он совпадает с одним из запрещенных значений.

Первый случай: $-a = 3a \implies 4a = 0 \implies a = 0$. При $a=0$ уравнение имеет вид $\frac{x}{x(x+5)}=0$, корень $x=0$ посторонний. Решений нет.

Второй случай: $-a = -5 \implies a = 5$. При $a=5$ уравнение имеет вид $\frac{x+5}{(x-15)(x+5)}=0$, корень $x=-5$ посторонний. Решений нет.

Если $a \neq 0$ и $a \neq 5$, то корень $x = -a$ не совпадает с запрещенными значениями и является решением.

Ответ: если $a=0$ или $a=5$, то корней нет; если $a \notin \{0, 5\}$, то $x=-a$.

6)

Решим уравнение $\frac{(x - a)(x - 2)}{x - 2a} = 0$.

Уравнение равносильно системе: $(x - a)(x - 2) = 0$ и $x - 2a \neq 0$.

Потенциальные корни: $x_1 = a$ и $x_2 = 2$.

Ограничение: $x \neq 2a$.

Проанализируем, при каких значениях $a$ корни становятся посторонними или совпадают.

Если $a=0$, корни числителя $x=0$ и $x=2$. Ограничение $x \neq 0$. Корень $x=0$ посторонний, остается решение $x=2$.

Если $a=1$, корни числителя $x=1$ и $x=2$. Ограничение $x \neq 2$. Корень $x=2$ посторонний, остается решение $x=1$.

Если $a=2$, корни числителя совпадают: $x=2$. Ограничение $x \neq 4$. Корень $x=2$ удовлетворяет ограничению, поэтому $x=2$ является решением.

Если $a \notin \{0, 1, 2\}$, то корни $x=a$ и $x=2$ различны. Проверим их:

Корень $x=a$ посторонний, если $a = 2a \implies a=0$, но этот случай мы исключили.

Корень $x=2$ посторонний, если $2 = 2a \implies a=1$, но этот случай мы также исключили.

Следовательно, при $a \notin \{0, 1, 2\}$ оба корня, $x=a$ и $x=2$, являются решениями.

Ответ: если $a=0$, то $x=2$; если $a=1$, то $x=1$; если $a=2$, то $x=2$; если $a \notin \{0, 1, 2\}$, то $x=a$ и $x=2$.