Номер 7.9, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.9, страница 58.

Условие.

7.9. При каких значениях параметра a данные уравнения равносильны:

1) $\frac{x-1}{x-a} = 0$ и $x - 1 = 0$

2) $\frac{x(x-a)}{x-2} = 0$ и $x = 0$

3) $\frac{(x-a)(x-3)}{x-2a} = 0$ и $x - 3 = 0$

4) $\frac{(x+a)(x-4a)}{x-1} = 0$ и $x - 4a = 0$

5) $\frac{(x-a)(x-2a+1)}{x-1} = 0$ и $\frac{x-a}{x-1} = 0$

6) $(a^2 - 1)x = a - 1$ и $\frac{x-1}{x-a} = 1$

7) $(a^2 - a)(x - 1) = 0$ и $2ax + a^2 - 3a = 0$

8) $a(x - 1) = 0$ и $ax + a^2 = 2a$

Решение.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Будем находить множества решений для каждого уравнения в паре и приравнивать их.

1)

Первое уравнение: $\frac{x-1}{x-a} = 0$. Оно равносильно системе $\begin{cases} x - 1 = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$. Из первого условия получаем $x=1$. Подставляя это значение во второе условие, получаем $1 - a \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
Таким образом, при $a \neq 1$ первое уравнение имеет единственный корень $x=1$. При $a=1$ уравнение принимает вид $\frac{x-1}{x-1}=0$ и не имеет решений, так как в точке $x=1$, где числитель равен нулю, знаменатель также обращается в ноль.

Второе уравнение: $x - 1 = 0$. Оно имеет единственный корень $x=1$ при любом значении параметра $a$.

Чтобы уравнения были равносильны, их множества решений должны совпадать. Множество решений второго уравнения — $\{1\}$. Первое уравнение имеет такое же множество решений только при условии $a \neq 1$.

Ответ: $a \neq 1$.

2)

Первое уравнение: $\frac{x(x-a)}{x-2} = 0$. Оно равносильно системе $\begin{cases} x(x-a) = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$.
Из первого условия получаем совокупность корней: $x=0$ или $x=a$. Условие на знаменатель: $x \neq 2$.
Корень $x=0$ является решением, так как $0 \neq 2$.
Второе уравнение: $x = 0$. Его единственное решение — $x=0$.

Для равносильности необходимо, чтобы множество решений первого уравнения было $\{0\}$. Это означает, что второй корень $x=a$ не должен добавлять нового решения. Это возможно в двух случаях:
1. Второй корень совпадает с первым: $a=0$. Тогда оба корня числителя равны 0, и единственным решением будет $x=0$.
2. Второй корень $x=a$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$, то есть является посторонним. Это происходит при $a=2$. В этом случае числитель обращается в ноль при $x=0$ и $x=2$. Но $x=2$ не является решением, так как обращает в ноль знаменатель. Единственным решением остается $x=0$.

Ответ: $a=0$ или $a=2$.

3)

Первое уравнение: $\frac{(x-a)(x-3)}{x-2a} = 0$. Его решения — это корни числителя $x=a$ и $x=3$ при условии, что знаменатель $x-2a$ не равен нулю.
Второе уравнение: $x - 3 = 0$. Его единственное решение — $x=3$.

Для равносильности необходимо, чтобы множество решений первого уравнения было $\{3\}$.
1. Корень $x=3$ должен быть решением первого уравнения. Для этого он не должен обращать в ноль знаменатель: $3 - 2a \neq 0 \implies a \neq \frac{3}{2}$.
2. Второй корень числителя $x=a$ не должен добавлять нового решения. Это возможно в двух случаях:
а) Корень $x=a$ совпадает с корнем $x=3$, то есть $a=3$. Это значение удовлетворяет условию $a \neq \frac{3}{2}$.
б) Корень $x=a$ является посторонним, то есть обращает в ноль знаменатель: $a - 2a = 0 \implies -a=0 \implies a=0$. Это значение также удовлетворяет условию $a \neq \frac{3}{2}$.

Ответ: $a=0$ или $a=3$.

4)

Первое уравнение: $\frac{(x+a)(x-4a)}{x-1} = 0$. Корни числителя: $x=-a$ и $x=4a$. Условие: $x \neq 1$.
Второе уравнение: $x - 4a = 0$. Его единственное решение — $x=4a$.

Для равносильности уравнений множество решений первого должно быть $\{4a\}$.
1. Корень $x=4a$ должен быть решением первого уравнения. Для этого он не должен обращать в ноль знаменатель: $4a \neq 1 \implies a \neq \frac{1}{4}$.
2. Второй корень числителя $x=-a$ не должен добавлять нового решения. Это возможно в двух случаях:
а) Корень $x=-a$ совпадает с корнем $x=4a$: $-a = 4a \implies 5a = 0 \implies a=0$. Это значение удовлетворяет условию $a \neq \frac{1}{4}$.
б) Корень $x=-a$ является посторонним, то есть обращает в ноль знаменатель: $-a=1 \implies a=-1$. Это значение также удовлетворяет условию $a \neq \frac{1}{4}$.

Ответ: $a=0$ или $a=-1$.

5)

Решим второе уравнение: $\frac{x-a}{x-1} = 0$. Оно равносильно системе $\begin{cases} x-a=0 \\ x-1 \neq 0 \end{cases}$. Отсюда $x=a$ при условии $a \neq 1$. Если $a=1$, то уравнение не имеет решений. Итак, множество решений второго уравнения: $S_2 = \{a\}$ при $a \neq 1$, и $S_2 = \emptyset$ при $a=1$.

Решим первое уравнение: $\frac{(x-a)(x-2a+1)}{x-1} = 0$. Его решения — это корни числителя $x=a$ и $x=2a-1$ при условии $x \neq 1$.
Рассмотрим два случая:
1. Пусть $a=1$. Тогда второе уравнение не имеет решений ($S_2=\emptyset$). Первое уравнение принимает вид $\frac{(x-1)(x-2+1)}{x-1}=0 \implies \frac{(x-1)^2}{x-1}=0$. Корень числителя $x=1$, но он не входит в область допустимых значений ($x \neq 1$). Следовательно, первое уравнение тоже не имеет решений ($S_1=\emptyset$). Так как $S_1=S_2$, значение $a=1$ подходит.
2. Пусть $a \neq 1$. Тогда второе уравнение имеет единственное решение $x=a$. Первое уравнение должно иметь то же самое единственное решение. Корень $x=a$ является решением первого уравнения, так как $a \neq 1$. Чтобы не было других решений, второй корень числителя $x=2a-1$ должен либо совпадать с $x=a$, либо быть равным 1.
а) $2a-1 = a \implies a=1$. Этот случай противоречит условию $a \neq 1$.
б) $2a-1 = 1 \implies 2a=2 \implies a=1$. Этот случай также противоречит условию $a \neq 1$.
Таким образом, при $a \neq 1$ равносильности нет.

Ответ: $a=1$.

6)

Рассмотрим второе уравнение: $\frac{x-1}{x-a} = 1$. Область допустимых значений: $x \neq a$. Умножив на знаменатель, получаем $x-1 = x-a$, откуда $-1=-a$, то есть $a=1$.
Таким образом, если $a=1$, уравнение принимает вид $\frac{x-1}{x-1}=1$, его решениями являются все $x$, кроме $x=1$. Множество решений $S_2 = (-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.
Если $a \neq 1$, уравнение не имеет решений, $S_2 = \emptyset$.

Рассмотрим первое уравнение: $(a^2 - 1)x = a - 1 \implies (a-1)(a+1)x = a-1$.
1. Если $a=1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Его решением является любое действительное число, $S_1 = \mathbb{R}$. В этом случае $S_1 \neq S_2$, так как $S_2$ не включает $x=1$.
2. Если $a=-1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -2$. Оно не имеет решений, $S_1 = \emptyset$. Для второго уравнения при $a=-1$ (так как $a \neq 1$) также нет решений, $S_2=\emptyset$. Так как $S_1=S_2$, значение $a=-1$ подходит.
3. Если $a \neq 1$ и $a \neq -1$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{a-1}{(a-1)(a+1)} = \frac{1}{a+1}$. $S_1=\{\frac{1}{a+1}\}$. При этих значениях $a$ (кроме $a=1$) второе уравнение не имеет решений. $S_1 \neq S_2$.

Ответ: $a=-1$.

7)

Рассмотрим первое уравнение: $(a^2 - a)(x-1) = 0 \implies a(a-1)(x-1)=0$.
1. Если $a(a-1)=0$, то есть $a=0$ или $a=1$, уравнение принимает вид $0 \cdot (x-1) = 0$, что верно для любого $x$. Множество решений $S_1=\mathbb{R}$.
2. Если $a \neq 0$ и $a \neq 1$, то можно разделить на $a(a-1)$, получим $x-1=0$, откуда $x=1$. Множество решений $S_1=\{1\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $2ax + a^2 - 3a = 0 \implies 2ax = 3a - a^2 \implies 2ax=a(3-a)$.
1. Если $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$. Множество решений $S_2=\mathbb{R}$.
2. Если $a \neq 0$, то можно разделить на $2a$, получим $x = \frac{a(3-a)}{2a} = \frac{3-a}{2}$. Множество решений $S_2=\{\frac{3-a}{2}\}$.

Сравним множества решений.
- При $a=0$: $S_1=\mathbb{R}$ и $S_2=\mathbb{R}$. Уравнения равносильны.
- При $a=1$: $S_1=\mathbb{R}$, а $S_2=\{\frac{3-1}{2}\} = \{1\}$. Неравносильны.
- При $a \neq 0$ и $a \neq 1$: $S_1=\{1\}$ и $S_2=\{\frac{3-a}{2}\}$. Для равносильности нужно, чтобы $1 = \frac{3-a}{2} \implies 2=3-a \implies a=1$. Но это значение не входит в рассматриваемый случай.

Ответ: $a=0$.

8)

Рассмотрим первое уравнение: $a(x-1) = 0$.
1. Если $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot (x-1) = 0$, что верно для любого $x$. $S_1=\mathbb{R}$.
2. Если $a \neq 0$, то $x-1=0$, откуда $x=1$. $S_1=\{1\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $ax + a^2 = 2a \implies ax = 2a - a^2 \implies ax=a(2-a)$.
1. Если $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$. $S_2=\mathbb{R}$.
2. Если $a \neq 0$, то $x=2-a$. $S_2=\{2-a\}$.

Сравним множества решений.
- При $a=0$: $S_1=\mathbb{R}$ и $S_2=\mathbb{R}$. Уравнения равносильны.
- При $a \neq 0$: $S_1=\{1\}$ и $S_2=\{2-a\}$. Для равносильности нужно, чтобы $1=2-a \implies a=1$. Это значение удовлетворяет условию $a \neq 0$. Проверим $a=1$: первое уравнение $1(x-1)=0 \implies x=1$; второе уравнение $x+1=2 \implies x=1$. Решения совпадают.

Ответ: $a=0$ или $a=1$.