Номер 7.10, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.10, страница 58.

Условие.

7.10. При каких значениях параметра b данные уравнения равносильны:

1) $\frac{x-4}{x+b} = 0$ и $x-4=0$;

2) $\frac{(x-1)(x+b)}{x-3} = 0$ и $x-1=0$;

3) $\frac{(x+b)(x-2b)}{x-3b} = 0$ и $\frac{x+b}{x-3b} = 0$;

4) $\frac{(x-b)(x-3b+4)}{x-2} = 0$ и $\frac{x-b}{x-2} = 0$;

5) $(b^2-4)(x+2) = 0$ и $bx+2b = 4-b^2$?

Решение.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.

1) $ \frac{x-4}{x+b} = 0 $ и $ x - 4 = 0 $

Решением второго уравнения $ x - 4 = 0 $ является $ x = 4 $. Следовательно, чтобы уравнения были равносильны, первое уравнение также должно иметь единственное решение $ x = 4 $.

Рассмотрим первое уравнение $ \frac{x-4}{x+b} = 0 $. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Числитель равен нулю: $ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 $.
2. Знаменатель не равен нулю: $ x + b \neq 0 $.

Поскольку единственным кандидатом в корни является $ x = 4 $, это значение должно удовлетворять условию неравенства знаменателя нулю:
$ 4 + b \neq 0 $
$ b \neq -4 $

Если $ b \neq -4 $, то уравнение $ \frac{x-4}{x+b} = 0 $ имеет единственный корень $ x = 4 $. Множество решений {$4$} совпадает с множеством решений уравнения $ x - 4 = 0 $.
Если $ b = -4 $, первое уравнение принимает вид $ \frac{x-4}{x-4} = 0 $. Область допустимых значений этого уравнения $ x \neq 4 $. На этой области уравнение превращается в неверное равенство $ 1=0 $, то есть не имеет решений. Множество решений пусто, в то время как у второго уравнения решение $ x=4 $. Уравнения не равносильны.
Следовательно, уравнения равносильны при $ b \neq -4 $.

Ответ: $ b \neq -4 $

2) $ \frac{(x-1)(x+b)}{x-3} = 0 $ и $ x - 1 = 0 $

Решением второго уравнения $ x - 1 = 0 $ является $ x = 1 $. Чтобы уравнения были равносильны, первое уравнение также должно иметь единственное решение $ x = 1 $.

Рассмотрим первое уравнение $ \frac{(x-1)(x+b)}{x-3} = 0 $.
1. Числитель равен нулю: $ (x-1)(x+b) = 0 $, откуда $ x=1 $ или $ x=-b $.
2. Знаменатель не равен нулю: $ x - 3 \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $.

Корень $ x=1 $ всегда является решением, так как $ 1-3 = -2 \neq 0 $. Чтобы множество решений состояло только из $ \{1\} $, второй корень $ x=-b $ не должен добавлять нового решения. Это возможно в двух случаях:
а) Второй корень совпадает с первым: $ -b = 1 \Rightarrow b = -1 $.
б) Второй корень является посторонним, то есть обращает знаменатель в ноль: $ -b = 3 \Rightarrow b = -3 $.

Проверим оба значения:
- Если $ b = -1 $, первое уравнение имеет вид $ \frac{(x-1)(x-1)}{x-3} = 0 $. Единственное решение $ x = 1 $. Уравнения равносильны.
- Если $ b = -3 $, первое уравнение имеет вид $ \frac{(x-1)(x-3)}{x-3} = 0 $. Его решениями являются корни числителя $ x=1 $ и $ x=3 $, удовлетворяющие условию $ x \neq 3 $. Таким образом, единственное решение $ x=1 $. Уравнения равносильны.

Ответ: $ b = -1 $ или $ b = -3 $

3) $ \frac{(x+b)(x-2b)}{x-3b} = 0 $ и $ \frac{x+b}{x-3b} = 0 $

Рассмотрим случай $ b = 0 $.
Первое уравнение: $ \frac{x \cdot x}{x} = 0 \Rightarrow \frac{x^2}{x} = 0 $. При $ x \neq 0 $ оно равносильно $ x=0 $, что невозможно. Решений нет.
Второе уравнение: $ \frac{x}{x} = 0 $. При $ x \neq 0 $ оно равносильно $ 1=0 $. Решений нет.
Поскольку при $ b=0 $ оба уравнения не имеют решений, их множества решений совпадают (оба пусты), и они равносильны.

Рассмотрим случай $ b \neq 0 $.
Решение второго уравнения $ \frac{x+b}{x-3b} = 0 $ находится из условий: $ x+b=0 $ и $ x-3b \neq 0 $. Отсюда $ x=-b $. Условие $ -b \neq 3b $ равносильно $ 4b \neq 0 $, что выполняется, так как $ b \neq 0 $. Итак, при $ b \neq 0 $ второе уравнение имеет единственный корень $ x = -b $.

Решения первого уравнения $ \frac{(x+b)(x-2b)}{x-3b} = 0 $ находятся из условий: $ (x+b)(x-2b)=0 $ и $ x-3b \neq 0 $. Корни числителя: $ x = -b $ и $ x = 2b $. Поскольку $ b \neq 0 $, то $ -b \neq 2b $. Это два различных корня. Проверим, не обращают ли они знаменатель в ноль:
- Для $ x=-b $: $ -b-3b = -4b \neq 0 $, так как $ b \neq 0 $.
- Для $ x=2b $: $ 2b-3b = -b \neq 0 $, так как $ b \neq 0 $.
Значит, при $ b \neq 0 $ первое уравнение имеет два различных корня: $ x = -b $ и $ x = 2b $.

Чтобы уравнения были равносильны при $ b \neq 0 $, множество решений первого уравнения $ \{-b, 2b\} $ должно совпадать с множеством решений второго $ \{-b\} $. Это невозможно, так как $ 2b \neq -b $.
Следовательно, единственное значение параметра, при котором уравнения равносильны, это $ b=0 $.

Ответ: $ b = 0 $

4) $ \frac{(x-b)(x-3b+4)}{x-2} = 0 $ и $ \frac{x-b}{x-2} = 0 $

Рассмотрим второе уравнение $ \frac{x-b}{x-2} = 0 $.
- Если $ b=2 $, уравнение принимает вид $ \frac{x-2}{x-2} = 0 $, что при $ x \neq 2 $ равносильно $ 1=0 $. Решений нет.
- Если $ b \neq 2 $, то из $ x-b=0 $ и $ x-2 \neq 0 $ следует, что уравнение имеет единственный корень $ x=b $.

Рассмотрим первое уравнение $ \frac{(x-b)(x-3b+4)}{x-2} = 0 $.
- Если $ b=2 $, уравнение принимает вид $ \frac{(x-2)(x-3(2)+4)}{x-2} = 0 \Rightarrow \frac{(x-2)(x-2)}{x-2} = 0 $. При $ x \neq 2 $ это равносильно $ x-2=0 $, что невозможно. Решений нет.
Поскольку при $ b=2 $ оба уравнения не имеют решений, они равносильны.

- Если $ b \neq 2 $, второе уравнение имеет корень $ x=b $. Первое уравнение должно иметь тот же единственный корень. Корни числителя первого уравнения: $ x=b $ и $ x=3b-4 $. Знаменатель не равен нулю: $ x \neq 2 $.
Корень $ x=b $ является решением, так как по условию $ b \neq 2 $. Чтобы не появилось второго решения $ x=3b-4 $, необходимо, чтобы оно либо совпадало с первым корнем $ x=b $, либо было посторонним корнем, то есть равнялось 2.
а) $ 3b-4 = b \Rightarrow 2b=4 \Rightarrow b=2 $. Этот случай мы не рассматриваем.
б) $ 3b-4 = 2 \Rightarrow 3b=6 \Rightarrow b=2 $. Этот случай мы также не рассматриваем.
Следовательно, при $ b \neq 2 $ уравнения не могут быть равносильны.

Ответ: $ b = 2 $

5) $ (b^2-4)(x+2) = 0 $ и $ bx+2b = 4-b^2 $

Проанализируем каждое уравнение отдельно.
Первое уравнение: $ (b^2-4)(x+2) = 0 $.
- Если $ b^2-4=0 $, то есть $ b=2 $ или $ b=-2 $, уравнение принимает вид $ 0 \cdot (x+2) = 0 $, или $ 0=0 $. Это верное равенство для любого $ x $. Множество решений — все действительные числа, $ S_1 = \mathbb{R} $.
- Если $ b^2-4 \neq 0 $, то есть $ b \neq 2 $ и $ b \neq -2 $, то можно разделить обе части на $ b^2-4 $. Получим $ x+2=0 $, откуда $ x=-2 $. Множество решений $ S_1 = \{-2\} $.

Второе уравнение: $ bx+2b = 4-b^2 $. Преобразуем его к виду $ bx = 4-2b-b^2 $.
- Если $ b=2 $, уравнение принимает вид $ 2x = 4-4-4 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x=-2 $. Множество решений $ S_2 = \{-2\} $.
- Если $ b=-2 $, уравнение принимает вид $ -2x = 4-2(-2)-(-2)^2 \Rightarrow -2x = 4+4-4 \Rightarrow -2x=4 \Rightarrow x=-2 $. Множество решений $ S_2 = \{-2\} $.
- Если $ b=0 $, уравнение принимает вид $ 0 \cdot x = 4-0-0 \Rightarrow 0=4 $. Решений нет. Множество решений $ S_2 = \emptyset $.
- Если $ b \notin \{2, -2, 0\} $, уравнение имеет единственное решение $ x = \frac{4-2b-b^2}{b} $.

Теперь сравним множества решений $ S_1 $ и $ S_2 $ для разных $ b $.
- При $ b=2 $: $ S_1 = \mathbb{R} $, $ S_2 = \{-2\} $. Не равносильны.
- При $ b=-2 $: $ S_1 = \mathbb{R} $, $ S_2 = \{-2\} $. Не равносильны.
- При $ b=0 $: $ S_1 = \{-2\} $ (так как $ 0 \neq \pm 2 $), $ S_2 = \emptyset $. Не равносильны.
- При $ b \notin \{2, -2, 0\} $: $ S_1 = \{-2\} $. Для равносильности нужно, чтобы $ S_2 = \{-2\} $.
$ \frac{4-2b-b^2}{b} = -2 $
$ 4-2b-b^2 = -2b $
$ 4-b^2 = 0 $
$ b^2 = 4 \Rightarrow b=2 $ или $ b=-2 $.
Но эти значения не входят в рассматриваемый случай $ b \notin \{2, -2, 0\} $.

Таким образом, не существует значений параметра $ b $, при которых данные уравнения равносильны.

Ответ: таких значений $ b $ не существует.