Номер 7.12, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.12, страница 59.

Условие.

7.12. В шахматном турнире участвовало 10 игроков, каждый из которых сыграл одну партию с каждым из остальных игроков. Сколько всего партий было сыграно?

Решение.

Для определения общего количества партий, сыгранных в турнире, можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Логические рассуждения

Каждый из 10 игроков должен сыграть со всеми остальными. Соперников у каждого игрока 9 (10 - 1 = 9). Если мы просто умножим количество игроков на количество их соперников, то получим $10 \cdot 9 = 90$. Однако в этом случае каждая партия будет посчитана дважды. Например, партия между игроком А и игроком Б будет учтена как для игрока А, так и для игрока Б. Чтобы избежать двойного счета, полученный результат необходимо разделить на 2.

Количество партий = $\frac{10 \cdot (10-1)}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$.

Способ 2: Использование комбинаторики

Задача сводится к тому, чтобы найти, сколько уникальных пар игроков можно составить из 10 участников. Порядок игроков в паре не имеет значения (партия "Игрок 1 - Игрок 2" — это та же партия, что и "Игрок 2 - Игрок 1"). Это классическая задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число игроков $n=10$, а в каждой партии участвуют $k=2$ игрока. Подставим эти значения в формулу:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 1 \cdot 8!}$

Сокращаем $8!$ в числителе и знаменателе и получаем:

$C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 45