Номер 7.2, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.2, страница 57.

Условие.

7.2. Для каждого значения параметра b решите уравнение:

1) $\frac{x+b}{x-5}=0;$

2) $\frac{x+4}{x-2b}=0;$

3) $\frac{x-3b}{x+b+2}=0;$

4) $\frac{(b-1)x}{x+b}=0.$

Решение.

1) Уравнение $\frac{x + b}{x - 5} = 0$ равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} x + b = 0 \\ x - 5 \neq 0 \end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $x = -b$.
Из второго условия следует, что $x \neq 5$.
Корень $x = -b$ является решением исходного уравнения, если он удовлетворяет условию $x \neq 5$. Найдем значение параметра $b$, при котором это условие нарушается:
$-b = 5 \implies b = -5$
Рассмотрим два случая:
1. Если $b = -5$, то потенциальный корень $x = -(-5) = 5$ обращает знаменатель в ноль, поэтому он не является решением. В этом случае у уравнения нет корней.
2. Если $b \neq -5$, то корень $x = -b$ не обращает знаменатель в ноль и является решением уравнения.
Ответ: если $b = -5$, то корней нет; если $b \neq -5$, то $x = -b$.

2) Уравнение $\frac{x + 4}{x - 2b} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} x + 4 = 0 \\ x - 2b \neq 0 \end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $x = -4$.
Из второго условия следует, что $x \neq 2b$.
Корень $x = -4$ является решением, если он удовлетворяет условию $x \neq 2b$. Найдем значение параметра $b$, при котором это условие нарушается:
$-4 = 2b \implies b = -2$
Рассмотрим два случая:
1. Если $b = -2$, то корень $x = -4$ совпадает со значением $2b = 2(-2) = -4$, которое обращает знаменатель в ноль. Следовательно, в этом случае корней нет.
2. Если $b \neq -2$, то корень $x = -4$ является решением уравнения.
Ответ: если $b = -2$, то корней нет; если $b \neq -2$, то $x = -4$.

3) Уравнение $\frac{x - 3b}{x + b + 2} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} x - 3b = 0 \\ x + b + 2 \neq 0 \end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $x = 3b$.
Из второго условия следует, что $x \neq -b - 2$.
Корень $x = 3b$ является решением, если он удовлетворяет условию $x \neq -b - 2$. Найдем значение параметра $b$, при котором это условие нарушается:
$3b = -b - 2$
$4b = -2$
$b = -0.5$
Рассмотрим два случая:
1. Если $b = -0.5$, то корень $x = 3(-0.5) = -1.5$ совпадает со значением $-b - 2 = -(-0.5) - 2 = 0.5 - 2 = -1.5$, которое обращает знаменатель в ноль. Следовательно, в этом случае корней нет.
2. Если $b \neq -0.5$, то корень $x = 3b$ является решением уравнения.
Ответ: если $b = -0.5$, то корней нет; если $b \neq -0.5$, то $x = 3b$.

4) Уравнение $\frac{(b - 1)x}{x + b} = 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} (b - 1)x = 0 \\ x + b \neq 0 \end{cases}$
Рассмотрим первое уравнение системы: $(b - 1)x = 0$.
Проанализируем его в зависимости от значения параметра $b$.
Случай 1: $b - 1 = 0 \implies b = 1$.
В этом случае уравнение числителя принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого значения $x$. Условие на знаменатель $x + b \neq 0$ принимает вид $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Таким образом, при $b = 1$ решением является любое действительное число, кроме $-1$.
Случай 2: $b - 1 \neq 0 \implies b \neq 1$.
В этом случае из уравнения $(b - 1)x = 0$ следует, что $x = 0$. Проверим для этого корня условие $x + b \neq 0$:
$0 + b \neq 0 \implies b \neq 0$
Значит, при $b \neq 1$ корень $x = 0$ существует только тогда, когда $b \neq 0$. Если же $b=0$ (что удовлетворяет условию $b \neq 1$), то корень $x=0$ обращает знаменатель в ноль, и решений нет.
Объединим результаты анализа:
- Если $b = 1$, решением является любое число, кроме $x = -1$.
- Если $b = 0$, корней нет.
- Если $b \neq 1$ и $b \neq 0$, решением является $x = 0$.
Ответ: если $b = 0$, то корней нет; если $b = 1$, то $x$ — любое число, кроме $-1$; если $b \neq 0$ и $b \neq 1$, то $x = 0$.