Вопросы?, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - страница 56.

Условие.

1. При изучении каких понятий вы встречались с параметрами?

2. В чём состоит процесс решения уравнения с параметрами?

Решение.

1. При изучении каких понятий вы встречались с параметрами?

С параметрами мы встречаемся при изучении многих математических понятий и объектов. Параметр — это величина, значение которой в рамках данной задачи считается постоянным, но может принимать разные значения, определяя тем самым целое семейство объектов или решений.

• Функции: В уравнении линейной функции $y = kx + b$, числа $k$ и $b$ являются параметрами. Параметр $k$ (угловой коэффициент) определяет угол наклона прямой, а параметр $b$ — точку пересечения с осью ординат. В квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$), параметры $a$, $b$ и $c$ определяют форму и расположение параболы.
• Уравнения: В линейном уравнении $ax = b$, $a$ и $b$ являются параметрами. Решение уравнения ($x = b/a$) зависит от их значений. В квадратном уравнении $ax^2 + bx + c = 0$, количество и вид корней зависят от параметров $a$, $b$, $c$, в частности от значения дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
• Геометрические фигуры: В уравнении окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, параметрами являются координаты центра $(a, b)$ и радиус $R$. Изменяя эти параметры, мы получаем разные окружности на плоскости.
• Тригонометрия: В функциях вида $y = A \sin(\omega x + \phi)$, параметры $A$ (амплитуда), $\omega$ (частота) и $\phi$ (фаза) определяют характеристики гармонического колебания.

Ответ: Параметры встречаются при изучении функций (линейной, квадратичной), уравнений (линейных, квадратных), уравнений геометрических фигур (например, окружности) и в тригонометрии.

2. В чём состоит процесс решения уравнения с параметрами?

Решить уравнение с параметрами — значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений уравнения. Этот процесс является исследованием и требует систематического подхода. Он состоит из следующих основных этапов:

1. Анализ структуры уравнения. Необходимо определить тип уравнения (линейное, квадратное, дробно-рациональное и т.д.) относительно неизвестной переменной. Также нужно найти область допустимых значений (ОДЗ) для переменной и для параметра, если есть ограничения (например, знаменатели не равны нулю, подкоренные выражения неотрицательны).
2. Нахождение "контрольных" или "особых" значений параметра. Это значения параметра, при которых происходят качественные изменения в уравнении. Например:
   • Коэффициент при старшей степени переменной обращается в ноль (например, квадратное уравнение становится линейным).
   • Дискриминант квадратного уравнения обращается в ноль, меняя количество корней.
   • Выражения, входящие в ОДЗ, обращаются в ноль.
3. Решение уравнения в каждом из случаев. Числовая ось для параметра разбивается найденными контрольными значениями на интервалы. Уравнение решается отдельно для каждого контрольного значения и для каждого получившегося интервала.
4. Формулировка и запись ответа. Ответ должен быть представлен в виде перечня, где для каждого значения или диапазона значений параметра указывается соответствующее множество решений для переменной.

Например, при решении уравнения $a(a-1)x = a-1$:
Контрольные значения параметра $a$ — это те, при которых коэффициент при $x$ равен нулю: $a(a-1)=0$, то есть $a=0$ и $a=1$.

• Если $a = 1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Решением является любое число, $x \in R$.
• Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -1$. Решений нет.
• Если $a \neq 0$ и $a \neq 1$, то можно разделить обе части на $a(a-1)$, получив $x = \frac{a-1}{a(a-1)} = \frac{1}{a}$.

Ответ: Процесс решения уравнения с параметрами заключается в том, чтобы найти все решения уравнения для каждого возможного значения параметра. Это требует анализа уравнения, нахождения контрольных значений параметра, решения уравнения для каждого из полученных случаев (для отдельных значений и интервалов) и записи итогового ответа, который связывает значения параметра с соответствующими решениями.