Номер 6.13, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.13, страница 52.

Условие.

6.13. Лодка проплыла $6 \text{ км}$ против течения реки и $12 \text{ км}$ по течению, потратив на весь путь $2 \text{ ч}$. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет $3 \text{ км/ч}$.

Решение.

Обозначим собственную скорость лодки (скорость в стоячей воде) как $x$ км/ч.

Согласно условию, скорость течения реки составляет 3 км/ч. Тогда:

Скорость лодки по течению реки равна $(x + 3)$ км/ч.

Скорость лодки против течения реки равна $(x - 3)$ км/ч.

Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Время, затраченное на путь по течению, можно найти по формуле $t = S/v$. Лодка прошла 12 км, значит, время составляет $t_1 = \frac{12}{x+3}$ ч.

Время, затраченное на путь против течения (6 км), составляет $t_2 = \frac{6}{x-3}$ ч.

Общее время в пути составляет 2 часа, что позволяет нам составить уравнение:

$t_1 + t_2 = 2$

$\frac{12}{x+3} + \frac{6}{x-3} = 2$

Решим это уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+3)(x-3)$, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$:

$12(x-3) + 6(x+3) = 2(x+3)(x-3)$

Раскроем скобки:

$12x - 36 + 6x + 18 = 2(x^2 - 9)$

Приведем подобные слагаемые в левой части и раскроем скобки в правой:

$18x - 18 = 2x^2 - 18$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - 18x - 18 + 18 = 0$

$2x^2 - 18x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 9) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.

Проверим корни на соответствие условию задачи. Корень $x_1 = 0$ не подходит, так как скорость лодки не может быть равна нулю и, как мы установили ранее, должна быть больше скорости течения ($x>3$).

Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде составляет 9 км/ч.

Ответ: 9 км/ч.