Номер 6.8, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.8, страница 51.

Условие.

6.8. Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если:

1) уравнение $(|x|+3)f(x)=2|x|+6$ заменить на уравнение $f(x)=2$;

2) уравнение $\frac{f(x)}{x^2+1}=0$ заменить на уравнение $f(x)=0$;

3) уравнение $(x+1)f(x)=x+1$ заменить на уравнение $f(x)=1$;

4) уравнение $\frac{f(x)}{x+1}=\frac{g(x)}{x+1}$ заменить на уравнение $f(x)=g(x)$;

5) уравнение $f(x)=g(x)$ заменить на уравнение $(x+1)f(x)=(x+1)g(x)$?

Решение.

1) уравнение $(|x| + 3) f(x) = 2|x| + 6$ заменить на уравнение $f(x) = 2$

Рассмотрим исходное уравнение $(|x| + 3) f(x) = 2|x| + 6$. Преобразуем его правую часть: $2|x| + 6 = 2(|x| + 3)$. Тогда уравнение примет вид: $(|x| + 3) f(x) = 2(|x| + 3)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(|x| + 3)$:
$(|x| + 3) f(x) - 2(|x| + 3) = 0$
$(|x| + 3) (f(x) - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Однако, первый множитель $(|x| + 3)$ не может быть равен нулю, так как по определению модуля $|x| \ge 0$, следовательно, $|x| + 3 \ge 3$. Поскольку множитель $(|x| + 3)$ всегда положителен, мы можем разделить на него обе части уравнения без изменения множества корней.

В результате деления получаем уравнение $f(x) - 2 = 0$, которое равносильно уравнению $f(x) = 2$. Таким образом, замена исходного уравнения на $f(x) = 2$ является равносильным преобразованием.

Ответ: Множество корней не изменится.

2) уравнение $\frac{f(x)}{x^2 + 1} = 0$ заменить на уравнение $f(x) = 0$

Исходное уравнение $\frac{f(x)}{x^2 + 1} = 0$ представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

В данном случае числитель равен $f(x)$, а знаменатель равен $x^2 + 1$. Проверим знаменатель: выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$, что означает, что знаменатель никогда не обращается в ноль.

Поскольку знаменатель $x^2 + 1$ никогда не равен нулю, область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения совпадает с областью определения функции $f(x)$. А само уравнение равносильно условию, что числитель равен нулю, то есть $f(x) = 0$. Таким образом, данное преобразование является равносильным.

Ответ: Множество корней не изменится.

3) уравнение $(x + 1) f(x) = x + 1$ заменить на уравнение $f(x) = 1$

Переход от уравнения $(x + 1) f(x) = x + 1$ к уравнению $f(x) = 1$ осуществляется делением обеих частей на выражение $(x + 1)$. Это преобразование корректно только при условии, что $x + 1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$. При таком переходе мы не учитываем случай, когда $x + 1 = 0$.

Рассмотрим исходное уравнение подробнее. Преобразуем его:
$(x + 1) f(x) - (x + 1) = 0$
$(x + 1)(f(x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю (а другой при этом имеет смысл). Следовательно, совокупность решений исходного уравнения:
1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$ (при условии, что $f(-1)$ существует).
2) $f(x) - 1 = 0 \implies f(x) = 1$.

Множество корней результирующего уравнения $f(x) = 1$ соответствует только второму случаю. Таким образом, при замене мы можем потерять корень $x = -1$. Это произойдет, если функция $f(x)$ определена в точке $x = -1$, и при этом $f(-1) \ne 1$. Если $f(-1)=1$, то корень $x=-1$ не теряется, так как он и так является решением $f(x)=1$.

Ответ: Множество корней может сузиться, так как возможна потеря корня $x = -1$.

4) уравнение $\frac{f(x)}{x + 1} = \frac{g(x)}{x + 1}$ заменить на уравнение $f(x) = g(x)$

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения $\frac{f(x)}{x + 1} = \frac{g(x)}{x + 1}$ включает в себя требование, чтобы знаменатель не был равен нулю: $x + 1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$. На этой ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

Результирующее уравнение $f(x) = g(x)$ не содержит ограничения $x \ne -1$. Его ОДЗ определяется пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

При переходе от исходного уравнения к результирующему мы фактически избавляемся от знаменателя, что равносильно умножению на $(x+1)$. Это может привести к появлению посторонних корней. Если $x = -1$ входит в область определения функций $f(x)$ и $g(x)$ и при этом $f(-1) = g(-1)$, то $x = -1$ будет являться корнем результирующего уравнения $f(x) = g(x)$, но не будет являться корнем исходного, так как не входит в его ОДЗ.

Ответ: Множество корней может расшириться, так как возможно приобретение корня $x = -1$.

5) уравнение $f(x) = g(x)$ заменить на уравнение $(x + 1)f(x) = (x + 1)g(x)$

Переход от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $(x + 1)f(x) = (x + 1)g(x)$ осуществляется путем умножения обеих частей на выражение $(x + 1)$. Такое преобразование может привести к появлению посторонних корней, а именно корней того выражения, на которое производилось умножение.

Преобразуем результирующее уравнение:
$(x + 1)f(x) - (x + 1)g(x) = 0$
$(x + 1)(f(x) - g(x)) = 0$

Решениями этого уравнения являются:
1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$ (при условии, что $f(-1)$ и $g(-1)$ существуют).
2) $f(x) - g(x) = 0 \implies f(x) = g(x)$.

Множество корней исходного уравнения $f(x) = g(x)$ совпадает только со второй группой решений. Результирующее уравнение дополнительно может иметь корень $x = -1$. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в точке $x = -1$, то $x=-1$ будет корнем результирующего уравнения независимо от того, выполняется ли равенство $f(-1) = g(-1)$. Если $f(-1) \ne g(-1)$, то $x=-1$ является посторонним корнем, появившимся в результате преобразования.

Ответ: Множество корней может расшириться, так как возможно приобретение корня $x = -1$.