Номер 6.8, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.

Тип: Учебник

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: углублённый

Цвет обложки: розовый

ISBN: 978-5-09-087881-4

Популярные ГДЗ в 8 классе

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.8, страница 51.

№6.8 (с. 51)
Условие. №6.8 (с. 51)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета, страница 51, номер 6.8, Условие Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета, страница 51, номер 6.8, Условие (продолжение 2)

6.8. Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если:

1) уравнение $(|x|+3)f(x)=2|x|+6$ заменить на уравнение $f(x)=2$;

2) уравнение $\frac{f(x)}{x^2+1}=0$ заменить на уравнение $f(x)=0$;

3) уравнение $(x+1)f(x)=x+1$ заменить на уравнение $f(x)=1$;

4) уравнение $\frac{f(x)}{x+1}=\frac{g(x)}{x+1}$ заменить на уравнение $f(x)=g(x)$;

5) уравнение $f(x)=g(x)$ заменить на уравнение $(x+1)f(x)=(x+1)g(x)$?

Решение. №6.8 (с. 51)

1) уравнение $(|x| + 3) f(x) = 2|x| + 6$ заменить на уравнение $f(x) = 2$

Рассмотрим исходное уравнение $(|x| + 3) f(x) = 2|x| + 6$. Преобразуем его правую часть: $2|x| + 6 = 2(|x| + 3)$. Тогда уравнение примет вид: $(|x| + 3) f(x) = 2(|x| + 3)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(|x| + 3)$:
$(|x| + 3) f(x) - 2(|x| + 3) = 0$
$(|x| + 3) (f(x) - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Однако, первый множитель $(|x| + 3)$ не может быть равен нулю, так как по определению модуля $|x| \ge 0$, следовательно, $|x| + 3 \ge 3$. Поскольку множитель $(|x| + 3)$ всегда положителен, мы можем разделить на него обе части уравнения без изменения множества корней.

В результате деления получаем уравнение $f(x) - 2 = 0$, которое равносильно уравнению $f(x) = 2$. Таким образом, замена исходного уравнения на $f(x) = 2$ является равносильным преобразованием.

Ответ: Множество корней не изменится.

2) уравнение $\frac{f(x)}{x^2 + 1} = 0$ заменить на уравнение $f(x) = 0$

Исходное уравнение $\frac{f(x)}{x^2 + 1} = 0$ представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

В данном случае числитель равен $f(x)$, а знаменатель равен $x^2 + 1$. Проверим знаменатель: выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$, что означает, что знаменатель никогда не обращается в ноль.

Поскольку знаменатель $x^2 + 1$ никогда не равен нулю, область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения совпадает с областью определения функции $f(x)$. А само уравнение равносильно условию, что числитель равен нулю, то есть $f(x) = 0$. Таким образом, данное преобразование является равносильным.

Ответ: Множество корней не изменится.

3) уравнение $(x + 1) f(x) = x + 1$ заменить на уравнение $f(x) = 1$

Переход от уравнения $(x + 1) f(x) = x + 1$ к уравнению $f(x) = 1$ осуществляется делением обеих частей на выражение $(x + 1)$. Это преобразование корректно только при условии, что $x + 1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$. При таком переходе мы не учитываем случай, когда $x + 1 = 0$.

Рассмотрим исходное уравнение подробнее. Преобразуем его:
$(x + 1) f(x) - (x + 1) = 0$
$(x + 1)(f(x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю (а другой при этом имеет смысл). Следовательно, совокупность решений исходного уравнения:
1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$ (при условии, что $f(-1)$ существует).
2) $f(x) - 1 = 0 \implies f(x) = 1$.

Множество корней результирующего уравнения $f(x) = 1$ соответствует только второму случаю. Таким образом, при замене мы можем потерять корень $x = -1$. Это произойдет, если функция $f(x)$ определена в точке $x = -1$, и при этом $f(-1) \ne 1$. Если $f(-1)=1$, то корень $x=-1$ не теряется, так как он и так является решением $f(x)=1$.

Ответ: Множество корней может сузиться, так как возможна потеря корня $x = -1$.

4) уравнение $\frac{f(x)}{x + 1} = \frac{g(x)}{x + 1}$ заменить на уравнение $f(x) = g(x)$

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения $\frac{f(x)}{x + 1} = \frac{g(x)}{x + 1}$ включает в себя требование, чтобы знаменатель не был равен нулю: $x + 1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$. На этой ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

Результирующее уравнение $f(x) = g(x)$ не содержит ограничения $x \ne -1$. Его ОДЗ определяется пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

При переходе от исходного уравнения к результирующему мы фактически избавляемся от знаменателя, что равносильно умножению на $(x+1)$. Это может привести к появлению посторонних корней. Если $x = -1$ входит в область определения функций $f(x)$ и $g(x)$ и при этом $f(-1) = g(-1)$, то $x = -1$ будет являться корнем результирующего уравнения $f(x) = g(x)$, но не будет являться корнем исходного, так как не входит в его ОДЗ.

Ответ: Множество корней может расшириться, так как возможно приобретение корня $x = -1$.

5) уравнение $f(x) = g(x)$ заменить на уравнение $(x + 1)f(x) = (x + 1)g(x)$

Переход от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $(x + 1)f(x) = (x + 1)g(x)$ осуществляется путем умножения обеих частей на выражение $(x + 1)$. Такое преобразование может привести к появлению посторонних корней, а именно корней того выражения, на которое производилось умножение.

Преобразуем результирующее уравнение:
$(x + 1)f(x) - (x + 1)g(x) = 0$
$(x + 1)(f(x) - g(x)) = 0$

Решениями этого уравнения являются:
1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$ (при условии, что $f(-1)$ и $g(-1)$ существуют).
2) $f(x) - g(x) = 0 \implies f(x) = g(x)$.

Множество корней исходного уравнения $f(x) = g(x)$ совпадает только со второй группой решений. Результирующее уравнение дополнительно может иметь корень $x = -1$. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в точке $x = -1$, то $x=-1$ будет корнем результирующего уравнения независимо от того, выполняется ли равенство $f(-1) = g(-1)$. Если $f(-1) \ne g(-1)$, то $x=-1$ является посторонним корнем, появившимся в результате преобразования.

Ответ: Множество корней может расшириться, так как возможно приобретение корня $x = -1$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 6.8 расположенного на странице 51 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.8 (с. 51), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.