Номер 6.4, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.4, страница 51.

Условие.

6.4. Будет ли уравнение, полученное в результате указанного преобразования, равносильным исходному, если:

1) в уравнении $3(2x - 1) - 5(4x + 2) = 1$ раскрыть скобки и привести подобные слагаемые;

2) в уравнении $x^2 + \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-7} = 49$ разность $\frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-7}$ заменить на нуль;

3) в уравнении $\frac{x^2 - 1}{x - 1} + 3x - 5 = 0$ сократить дробь;

4) обе части уравнения $x^3 = x$ разделить на $x$;

5) обе части уравнения $(x + 1)(x^2 + 4) = x^2 + 4$ разделить на $x^2 + 4$;

6) обе части уравнения $\frac{x^2}{x} = 2$ умножить на $x$;

7) обе части уравнения $2x + 1 = 5$ умножить на $x + 1$?

Решение.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Преобразование уравнения называется равносильным, если оно приводит к уравнению, равносильному исходному.

1) Исходное уравнение: $3(2x - 1) - 5(4x + 2) = 1$.
Преобразование заключается в раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых в левой части уравнения: $6x - 3 - 20x - 10 = 1$ $-14x - 13 = 1$ Это тождественное преобразование выражения в левой части уравнения, которое не изменяет область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (в данном случае $x$ - любое действительное число) и не может привести к потере или приобретению корней. Следовательно, полученное уравнение будет равносильно исходному. Ответ: да.

2) Исходное уравнение: $x^2 + \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-7} = 49$.
ОДЗ этого уравнения определяется знаменателем дробей: $x - 7 \neq 0$, то есть $x \neq 7$. На ОДЗ уравнение равносильно уравнению $x^2=49$, корнями которого являются $x=7$ и $x=-7$. Учитывая ОДЗ, корень исходного уравнения только один: $x=-7$.
После замены разности $\frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-7}$ на нуль, получаем уравнение $x^2 = 49$. ОДЗ этого уравнения - все действительные числа. Его корни: $x=7$ и $x=-7$.
Множество корней исходного уравнения $\{-7\}$ не совпадает с множеством корней полученного уравнения $\{-7, 7\}$. Преобразование привело к расширению ОДЗ и появлению постороннего корня $x=7$. Уравнения не равносильны. Ответ: нет.

3) Исходное уравнение: $\frac{x^2-1}{x-1} + 3x - 5 = 0$.
ОДЗ этого уравнения: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Сократим дробь: $\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$.
После сокращения дроби получаем уравнение: $(x+1) + 3x - 5 = 0$, что равносильно $4x - 4 = 0$. Корень этого уравнения $x=1$.
Однако корень $x=1$ не входит в ОДЗ исходного уравнения. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней. А полученное уравнение имеет корень $x=1$. Множества корней ($\emptyset$ и $\{1\}$) не совпадают, значит, уравнения не равносильны. Ответ: нет.

4) Исходное уравнение: $x^3 = x$.
Перенесем все члены в одну сторону: $x^3 - x = 0 \implies x(x^2 - 1) = 0 \implies x(x-1)(x+1) = 0$. Корни этого уравнения: $x=0$, $x=1$, $x=-1$.
При делении обеих частей уравнения на $x$ мы неявно предполагаем, что $x \neq 0$. Это может привести к потере корня.
Новое уравнение: $x^2 = 1$. Его корни: $x=1$ и $x=-1$.
В результате преобразования был потерян корень $x=0$. Множества корней исходного $\{-1, 0, 1\}$ и полученного $\{-1, 1\}$ уравнений не совпадают. Уравнения не равносильны. Ответ: нет.

5) Исходное уравнение: $(x+1)(x^2+4) = x^2+4$.
Чтобы разделить обе части уравнения на выражение $x^2+4$, нужно убедиться, что это выражение не равно нулю. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+4 \ge 4$. Следовательно, выражение $x^2+4$ никогда не обращается в нуль.
Деление обеих частей уравнения на число или выражение, отличное от нуля, является равносильным преобразованием. Полученное уравнение $x+1=1$ равносильно исходному. Ответ: да.

6) Исходное уравнение: $\frac{x^2}{x} = 2$.
ОДЗ этого уравнения: $x \neq 0$. На ОДЗ уравнение упрощается до $x=2$. Таким образом, у исходного уравнения единственный корень $x=2$.
Умножение обеих частей на $x$ приводит к уравнению $x^2 = 2x$. Перенесем все члены влево: $x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0$. Корни этого уравнения: $x=0$ и $x=2$.
Множество корней исходного уравнения $\{2\}$ не совпадает с множеством корней полученного уравнения $\{0, 2\}$. Умножение на выражение, которое может обращаться в нуль, привело к появлению постороннего корня $x=0$. Уравнения не равносильны. Ответ: нет.

7) Исходное уравнение: $2x+1=5$.
Решим его: $2x = 4 \implies x=2$. Уравнение имеет единственный корень $x=2$.
Умножим обе части на $x+1$. Выражение $x+1$ обращается в нуль при $x=-1$. Такое преобразование может привести к появлению посторонних корней.
Новое уравнение: $(2x+1)(x+1) = 5(x+1)$.
Решим его: $(2x+1)(x+1) - 5(x+1) = 0 \implies (x+1)(2x+1-5)=0 \implies (x+1)(2x-4)=0$. Корни этого уравнения: $x=-1$ и $x=2$.
Множество корней исходного уравнения $\{2\}$ не совпадает с множеством корней полученного уравнения $\{-1, 2\}$. Появился посторонний корень $x=-1$. Уравнения не равносильны. Ответ: нет.