Номер 5.12, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.12, страница 38.

Условие.

5.12. В ведре несколько литров воды. Если отлить половину воды, то в нём останется на 14 л воды меньше, чем помещается в ведре. Если долить 4 л, то объём воды составит $\frac{2}{3}$ того, что помещается в ведре.

Сколько литров воды помещается в ведре?

Решение.

Для решения этой задачи введем переменные:

Пусть $V$ — это вместимость ведра в литрах (то, сколько литров воды помещается в ведре).

Пусть $x$ — это первоначальное количество воды в ведре в литрах.

На основе условий задачи составим систему из двух уравнений.

Первое условие: «Если отлить половину воды, то в нём останется на 14 л воды меньше, чем помещается в ведре».

Когда отливают половину воды, в ведре остается $x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}$ литров. Этот объем на 14 литров меньше, чем вместимость ведра $V$. Математически это можно записать так:

$\frac{x}{2} = V - 14$

Второе условие: «Если долить 4 л, то объём воды составит $\frac{2}{3}$ того, что помещается в ведре».

Когда доливают 4 литра, объем воды становится $x + 4$ литров. Этот объем равен $\frac{2}{3}$ от вместимости ведра $V$. Математически это записывается так:

$x + 4 = \frac{2}{3}V$

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{x}{2} = V - 14 \\ x + 4 = \frac{2}{3}V \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из каждого уравнения.

Из первого уравнения:

$x = 2(V - 14)$

$x = 2V - 28$

Из второго уравнения:

$x = \frac{2}{3}V - 4$

Теперь приравняем выражения для $x$, полученные из обоих уравнений:

$2V - 28 = \frac{2}{3}V - 4$

Решим это уравнение относительно $V$. Перенесем все члены с $V$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$2V - \frac{2}{3}V = 28 - 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$\frac{6V}{3} - \frac{2V}{3} = 24$

$\frac{4V}{3} = 24$

Чтобы найти $V$, умножим обе части уравнения на 3 и разделим на 4:

$4V = 24 \cdot 3$

$4V = 72$

$V = \frac{72}{4}$

$V = 18$

Таким образом, вместимость ведра составляет 18 литров.

Ответ: 18 литров.