Номер 5.7, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.7, страница 37.

Условие.

5.7. Электрическая цепь между точками M и N составлена по схеме, изображённой на рисунке 5.4. Рассмотрим высказывания:

$A = \text{{элемент m цепи функционирует нормально}};$

$B = \text{{элемент n цепи функционирует нормально}}.$

Определите, является ли цепь замкнутой, если известно, что:

1) $\overline{A} \wedge \overline{B}$ — истинное высказывание;

2) $\overline{A} \vee \overline{B}$ — ложное высказывание;

3) $A \wedge B$ — истинное высказывание.

Рис. 5.4

Решение.

Для того чтобы электрическая цепь, состоящая из двух последовательно соединенных элементов $m$ и $n$, была замкнутой, необходимо, чтобы оба элемента функционировали нормально. На языке логики высказываний это означает, что высказывание $A \land B$ должно быть истинным, где $A$ – {элемент $m$ функционирует нормально}, а $B$ – {элемент $n$ функционирует нормально}.

1) $Ā \land B̄$ — истинное высказывание

Высказывание, представляющее собой конъюнкцию (логическое "И", обозначаемое знаком $∧$), истинно тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих его высказывания. Следовательно, из условия, что $Ā \land B̄$ — истинно, следует, что высказывание $Ā$ истинно и высказывание $B̄$ истинно. Если $Ā$ (отрицание $A$) истинно, то само высказывание $A$ ложно. Это значит, что элемент $m$ не функционирует. Если $B̄$ (отрицание $B$) истинно, то само высказывание $B$ ложно. Это значит, что элемент $n$ не функционирует. Поскольку для замыкания последовательной цепи должны работать оба элемента, а в данном случае оба неисправны, цепь не является замкнутой.
Ответ: цепь не является замкнутой.

2) $Ā \lor B$ — ложное высказывание

Высказывание, представляющее собой дизъюнкцию (логическое "ИЛИ", обозначаемое знаком $∨$), ложно тогда и только тогда, когда ложны оба составляющих его высказывания. Таким образом, из условия, что $Ā \lor B$ — ложно, следует, что высказывание $Ā$ ложно и высказывание $B$ ложно. Если $Ā$ ложно, то высказывание $A$ истинно, то есть элемент $m$ функционирует нормально. Если высказывание $B$ ложно, то элемент $n$ не функционирует нормально. Так как в последовательной цепи для ее замыкания должны быть исправны все элементы, а элемент $n$ неисправен, то цепь не является замкнутой.
Ответ: цепь не является замкнутой.

3) $A \land B$ — истинное высказывание

Конъюнкция $A \land B$ истинна в том и только в том случае, когда истинны оба высказывания: $A$ и $B$. Это означает, что элемент $m$ функционирует нормально ($A$ — истинно) и элемент $n$ функционирует нормально ($B$ — истинно). Поскольку оба элемента в последовательной цепи исправны, цепь является замкнутой.
Ответ: цепь является замкнутой.