Номер 5.13, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.13, страница 38.

Условие.

5.13. Найдите значение выражения $\frac{(a^{-3})^3}{a^{-2} \cdot a^{-5}}$ при $a = \frac{1}{3}$.

Решение.

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, используя свойства степеней.

Исходное выражение: $\frac{(a^{-3})^3}{a^{-2} \cdot a^{-5}}$.

1. Упростим числитель, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$(a^{-3})^3 = a^{-3 \cdot 3} = a^{-9}$.

2. Упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a^{-2} \cdot a^{-5} = a^{-2 + (-5)} = a^{-7}$.

3. Теперь разделим числитель на знаменатель, используя правило деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a^{-9}}{a^{-7}} = a^{-9 - (-7)} = a^{-9 + 7} = a^{-2}$.

4. Теперь, когда выражение упрощено до $a^{-2}$, подставим в него заданное значение $a = \frac{1}{3}$:
$a^{-2} = (\frac{1}{3})^{-2}$.

5. Вычислим значение, используя свойство отрицательной степени $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:
$(\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{3}{1})^2 = 3^2 = 9$.

Ответ: 9.