Номер 5.11, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.11, страница 38.

Условие.

5.11. Выразите операцию конъюнкции через операции дизъюнкции и отрицания.

Решение.

Чтобы выразить операцию конъюнкции (логическое "И") через операции дизъюнкции (логическое "ИЛИ") и отрицания (логическое "НЕ"), необходимо использовать законы де Моргана и закон двойного отрицания.

В булевой алгебре конъюнкция двух переменных $A$ и $B$ записывается как $A \land B$. Один из законов де Моргана устанавливает связь между конъюнкцией и дизъюнкцией следующим образом:
$\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$

Это тождество означает, что отрицание конъюнкции двух высказываний эквивалентно дизъюнкции их отрицаний. Чтобы из этого выражения получить чистую конъюнкцию $A \land B$, мы можем применить операцию отрицания к обеим частям тождества:
$\neg(\neg(A \land B)) \equiv \neg(\neg A \lor \neg B)$

Далее, по закону двойного отрицания, который гласит, что $\neg(\neg P) \equiv P$, мы можем упростить левую часть выражения:
$A \land B \equiv \neg(\neg A \lor \neg B)$

Таким образом, мы получили выражение для операции конъюнкции, которое использует только операции дизъюнкции ($\lor$) и отрицания ($\neg$).

Для проверки правильности этого тождества можно рассмотреть все возможные комбинации значений переменных $A$ и $B$ (где 1 — истина, 0 — ложь):

1. Случай $A=0, B=0$:
Левая часть: $A \land B = 0 \land 0 = 0$
Правая часть: $\neg(\neg 0 \lor \neg 0) = \neg(1 \lor 1) = \neg(1) = 0$
Значения совпадают.

2. Случай $A=0, B=1$:
Левая часть: $A \land B = 0 \land 1 = 0$
Правая часть: $\neg(\neg 0 \lor \neg 1) = \neg(1 \lor 0) = \neg(1) = 0$
Значения совпадают.

3. Случай $A=1, B=0$:
Левая часть: $A \land B = 1 \land 0 = 0$
Правая часть: $\neg(\neg 1 \lor \neg 0) = \neg(0 \lor 1) = \neg(1) = 0$
Значения совпадают.

4. Случай $A=1, B=1$:
Левая часть: $A \land B = 1 \land 1 = 1$
Правая часть: $\neg(\neg 1 \lor \neg 1) = \neg(0 \lor 0) = \neg(0) = 1$
Значения совпадают.

Поскольку результаты для левой и правой частей выражения совпадают при всех возможных значениях переменных, тождество доказано.

Ответ: $A \land B = \neg(\neg A \lor \neg B)$