Номер 5.4, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.4, страница 37.

Условие.

5.4. Составьте таблицу истинности для логического выражения:

1) $\overline{A} \Rightarrow B;$

2) $(A \vee B) \wedge C;$

3) $(A \wedge B) \Rightarrow C;$

4) $(A \Rightarrow B) \wedge (B \vee C);$

5) $(A \wedge \overline{C}) \Rightarrow B.$

Решение.

1) $\overline{A} \Rightarrow B$

Для построения таблицы истинности для выражения $\overline{A} \Rightarrow B$ нам понадобятся 2 входные переменные, $A$ и $B$. Таблица будет содержать $2^2=4$ строки. В качестве промежуточного шага вычислим значение $\overline{A}$ (отрицание $A$), а затем — значение всего выражения, используя операцию импликации ($\Rightarrow$). Импликация $X \Rightarrow Y$ ложна (0) только тогда, когда $X$ истинно (1), а $Y$ ложно (0).

$A$	$B$	$\overline{A}$	$\overline{A} \Rightarrow B$
0	0	1	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	1	0	1

Ответ: Столбец истинности для выражения $\overline{A} \Rightarrow B$: (0, 1, 1, 1).

2) $(A \vee B) \wedge C$

Для выражения $(A \vee B) \wedge C$ используются три переменные: $A$, $B$ и $C$. Таблица истинности будет состоять из $2^3=8$ строк. Сначала вычисляем значение дизъюнкции $(A \vee B)$, которая истинна (1), если хотя бы один из операндов истинен. Затем вычисляем конъюнкцию $(\dots) \wedge C$, которая истинна (1) только тогда, когда оба операнда истинны.

$A$	$B$	$C$	$A \vee B$	$(A \vee B) \wedge C$
0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0
1	0	1	1	1
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

Ответ: Столбец истинности для выражения $(A \vee B) \wedge C$: (0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1).

3) $(A \wedge B) \Rightarrow C$

Для выражения $(A \wedge B) \Rightarrow C$ используются три переменные: $A$, $B$ и $C$. Таблица истинности будет состоять из $2^3=8$ строк. Сначала вычисляем значение конъюнкции $(A \wedge B)$, которая истинна (1) только тогда, когда $A$ и $B$ оба истинны. Затем вычисляем значение импликации $(\dots) \Rightarrow C$, которая ложна (0) только в случае, если посылка $(A \wedge B)$ истинна, а заключение $C$ ложно.

$A$	$B$	$C$	$A \wedge B$	$(A \wedge B) \Rightarrow C$
0	0	0	0	1
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	0	1	0	1
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

Ответ: Столбец истинности для выражения $(A \wedge B) \Rightarrow C$: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1).

4) $(A \Rightarrow B) \wedge (B \vee C)$

Для выражения $(A \Rightarrow B) \wedge (B \vee C)$ используются три переменные: $A$, $B$ и $C$. Таблица истинности будет состоять из $2^3=8$ строк. Сначала вычисляем значения для двух подвыражений в скобках: импликации $(A \Rightarrow B)$ и дизъюнкции $(B \vee C)$. Затем вычисляем их конъюнкцию $(\dots) \wedge (\dots)$, которая истинна (1) только тогда, когда оба подвыражения истинны.

$A$	$B$	$C$	$A \Rightarrow B$	$B \vee C$	$(A \Rightarrow B) \wedge (B \vee C)$
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1

Ответ: Столбец истинности для выражения $(A \Rightarrow B) \wedge (B \vee C)$: (0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1).

5) $(A \wedge \overline{C}) \Rightarrow B$

Для выражения $(A \wedge \overline{C}) \Rightarrow B$ используются три переменные: $A$, $B$ и $C$. Таблица истинности будет состоять из $2^3=8$ строк. Порядок действий: сначала вычисляем отрицание $\overline{C}$, затем конъюнкцию $(A \wedge \overline{C})$, и в конце — импликацию $(\dots) \Rightarrow B$. Импликация будет ложной (0) только тогда, когда посылка $(A \wedge \overline{C})$ истинна (1), а заключение $B$ ложно (0).

$A$	$B$	$C$	$\overline{C}$	$A \wedge \overline{C}$	$(A \wedge \overline{C}) \Rightarrow B$
0	0	0	1	0	1
0	0	1	0	0	1
0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1

Ответ: Столбец истинности для выражения $(A \wedge \overline{C}) \Rightarrow B$: (1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1).