Номер 5.2, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.2, страница 37.

Условие.

5.2. Даны два высказывания: $A = \{5 < 6\}$, $B = \{6 \text{ — простое число}\}$. Определите, истинным или ложным является высказывание:

1) $A \wedge B$;

2) $A \vee B$;

3) $A \Rightarrow B$;

4) $A \Leftrightarrow B$;

5) $\overline{A}$;

6) $\overline{B}$.

Решение.

Для решения задачи сначала определим истинность исходных высказываний A и B.

Высказывание A: ${5 < 6}$. Это неравенство является верным, следовательно, высказывание A истинно.

Высказывание B: ${6 — \text{простое число}}$. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Число 6 имеет делители 1, 2, 3, 6. Так как у него больше двух делителей, оно является составным, а не простым. Следовательно, высказывание B ложно.

Итак, имеем: A = Истина, B = Ложь.

Теперь определим истинность каждого из составных высказываний:

1) $A \land B$

Это конъюнкция (логическое "И"). Высказывание $A \land B$ истинно только в том случае, если оба высказывания, A и B, истинны. Поскольку B ложно, их конъюнкция ложна.

Истина $\land$ Ложь = Ложь.

Ответ: ложь.

2) $A \lor B$

Это дизъюнкция (логическое "ИЛИ"). Высказывание $A \lor B$ истинно, если хотя бы одно из высказываний, A или B, истинно. Поскольку A истинно, их дизъюнкция истинна.

Истина $\lor$ Ложь = Истина.

Ответ: истина.

3) $A \Rightarrow B$

Это импликация (логическое следование). Высказывание $A \Rightarrow B$ ложно только в одном случае: когда из истинной посылки (A) следует ложное заключение (B). Это как раз наш случай.

Истина $\Rightarrow$ Ложь = Ложь.

Ответ: ложь.

4) $A \Leftrightarrow B$

Это эквиваленция (равносильность). Высказывание $A \Leftrightarrow B$ истинно только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение истинности (оба истинны или оба ложны). В нашем случае A истинно, а B ложно, то есть их значения истинности различны.

Истина $\Leftrightarrow$ Ложь = Ложь.

Ответ: ложь.

5) $\bar{A}$

Это отрицание высказывания A. Если высказывание A истинно, то его отрицание $\bar{A}$ ложно.

$\bar{\text{Истина}}$ = Ложь.

Ответ: ложь.

6) $\bar{B}$

Это отрицание высказывания B. Если высказывание B ложно, то его отрицание $\bar{B}$ истинно.

$\bar{\text{Ложь}}$ = Истина.

Ответ: истина.