Номер 4.14, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.14, страница 28.

Условие.

4.14. Докажите, что множество точек $(x; y)$ координатной плоскости таких, что числа $x$ и $y$ — целые, является счётным.

Решение.

Чтобы доказать, что множество точек $(x, y)$ на координатной плоскости с целыми координатами является счётным, необходимо показать, что существует взаимно-однозначное соответствие (биекция) между этим множеством и множеством натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$. Это равносильно тому, чтобы показать, что все такие точки можно пронумеровать.

Рассматриваемое множество — это декартово произведение множества целых чисел $\mathbb{Z}$ на себя, то есть $S = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} = \{(x, y) \mid x \in \mathbb{Z}, y \in \mathbb{Z}\}$.

Пронумеруем все точки этого множества, обходя их по концентрическим квадратам, расширяющимся от начала координат. Этот метод иногда называют «обходом по спирали».

1. Начнем с центральной точки $(0, 0)$, присвоив ей номер 1.

2. Далее обойдем точки, для которых максимальная из абсолютных величин координат равна 1, то есть $\max(|x|, |y|) = 1$. Эти точки образуют границу квадрата. Будем обходить их против часовой стрелки, начиная с точки $(1, 0)$:
2: $(1, 0)$
3: $(1, 1)$
4: $(0, 1)$
5: $(-1, 1)$
6: $(-1, 0)$
7: $(-1, -1)$
8: $(0, -1)$
9: $(1, -1)$

3. Затем перейдем к следующему квадрату, где $\max(|x|, |y|) = 2$. Продолжим нумерацию, начав с точки $(2, -1)$ и двигаясь вверх и далее против часовой стрелки:
10: $(2, -1)$
11: $(2, 0)$
12: $(2, 1)$
13: $(2, 2)$
14: $(1, 2)$
...и так далее.

Этот процесс можно продолжать бесконечно. Каждая точка $(x, y)$ с целыми координатами принадлежит ровно одному такому квадратному контуру, который определяется значением $k = \max(|x|, |y|)$. Поскольку мы последовательно обходим эти контуры для $k = 0, 1, 2, 3, \ldots$, любая точка $(x, y)$ будет достигнута и получит свой уникальный номер в этой последовательности.

Таким образом, мы построили отображение, которое каждой точке с целыми координатами ставит в соответствие уникальное натуральное число. Это отображение является биекцией, что и доказывает счётность множества.

Ответ: Доказано, что множество является счётным, так как продемонстрирован способ построения взаимно-однозначного соответствия (биекции) между множеством точек с целочисленными координатами и множеством натуральных чисел. Это соответствие устанавливается путем последовательной нумерации точек, расположенных на концентрических квадратах, расширяющихся от начала координат.